临聘老师更换第三方公司后，工龄的计算需根据具体情况确定，核心结论如下：

1. 若原合同明确约定工龄连续计算
   若您与原第三方公司签订的劳动合同中明确约定“更换服务单位后工龄连续计算”，或原公司、新公司、您三方签署了书面协议确认工龄延续，则新公司应承认您在原公司的工作年限。
   法律依据：根据《劳动合同法实施条例》第十条，劳动者非因本人原因从原用人单位被安排到新用人单位工作的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，新用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同，且原用人单位的工作年限应合并计算为新用人单位的工作年限。

2. 若无明确约定，但符合“非本人原因调动”情形
   若您是被原公司安排至新公司工作（如学校因服务采购变更合作方），且未获得经济补偿，可主张工龄连续。此时需提供证据证明调动非本人意愿（如原公司通知、工作交接记录等），新公司通常需承认原工龄。
   实践建议：若新公司拒绝承认，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，主张经济补偿或签订无固定期限劳动合同的权利。

3. 若完全自主选择新公司，原工龄可能不延续
   若您主动终止与原第三方公司的合同，自行选择与新公司签约，且无上述“非本人原因调动”情形，则新公司一般无需承认原工龄。此时工龄从与新公司签订合同之日起重新计算。
   例外情形：若新公司自愿承认原工龄（如招聘时明确承诺），则以双方约定为准。

关键提醒：

• 保留与原公司、新公司的劳动合同、工资发放记录、工作证明等材料，作为工龄主张的证据。
  
• 若涉及经济补偿（如解除合同时未获补偿），可结合工龄主张赔偿金（工作每满1年支付1个月工资）。
  

如有具体合同条款或调动细节需进一步分析，可直接向我提供信息，我会为您详细解答。