针对私立学校不付工程款且经政府协调无果的情况，您可以采取以下法律措施：

1. 发送律师函催告：

   • 首先，您可以委托律师向私立学校发送正式的律师函，明确要求其支付拖欠的工程款，并设定合理的支付期限。律师函具有法律上的正式性和严肃性，有时能够促使对方主动履行义务。

2. 提起民事诉讼：

   • 若律师函催告无果，您可以向人民法院提起民事诉讼，要求私立学校支付拖欠的工程款及可能产生的利息、违约金等。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据，如工程合同、施工记录、验收报告、结算单据等，以证明私立学校确实拖欠了工程款。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当事人一方未支付价款、报酬、租金、利息，或者不履行其他金钱债务的，对方可以请求其支付。

3. 申请财产保全：

   • 在提起诉讼的同时或之后，您可以向法院申请财产保全，冻结私立学校的银行账户或其他财产，以确保在判决生效后能够顺利执行。财产保全是一种有效的法律手段，可以防止对方在诉讼期间转移财产，从而保障您的合法权益。

4. 考虑行政投诉或举报：

   • 如果私立学校的行为涉嫌违反相关行政法规或规章，您还可以向相关行政部门进行投诉或举报。例如，如果私立学校存在非法集资、违规办学等行为，您可以向教育行政部门或市场监管部门进行举报。虽然这不一定能直接解决工程款拖欠问题，但可以对私立学校形成一定的压力，促使其主动解决问题。

5. 探索和解或调解途径：

   • 在诉讼过程中或之前，您也可以尝试与私立学校进行和解或调解。和解或调解具有灵活性和高效性，可以避免长时间的诉讼程序，降低诉讼成本。如果双方能够达成和解或调解协议，并经过法院确认，那么该协议就具有法律效力，双方必须履行。

在采取上述措施时，您需要注意以下几点：

• 保留证据：在整个过程中，您需要妥善保留所有与工程款拖欠相关的证据，包括合同、施工记录、结算单据、沟通记录等。这些证据将是您在诉讼或调解过程中证明自己权益的重要依据。
• 遵守法律程序：在采取任何法律措施时，您都需要严格遵守法律程序和规定。例如，在提起诉讼时，您需要按照法院的要求提交起诉状和相关证据；在申请财产保全时，您需要提供充分的担保等。
• 寻求专业法律帮助：由于法律程序复杂且专业性强，建议您在采取任何法律措施前都咨询专业律师的意见。律师可以根据您的具体情况提供针对性的法律建议和帮助，确保您的权益得到最大程度的保障。

最后，需要强调的是，每个案件的具体情况都有所不同，因此上述措施和建议可能需要根据您的实际情况进行调整和完善。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。