工厂月月无休且无偿加班的行为是违法的，员工有权要求工厂改正并获得相应补偿。具体分析如下：

1. 关于月月无休：

   • 根据《劳动法》及相关规定，劳动者享有休息休假的权利。工厂安排员工月月无休，明显违反了这一规定，侵犯了员工的休息权。
   • 员工有权要求工厂按照法律规定安排休息日，或者支付相应的加班费以补偿无法休息的损失。

2. 关于无偿加班：

   • 《劳动法》明确规定，用人单位安排劳动者加班的，应当支付不低于工资一定比例的加班费。工厂无偿要求员工加班，属于违法行为。
   • 员工有权要求工厂支付加班费，如果工厂拒绝支付，员工可以通过法律途径维护自己的权益。

处理建议：

• 与工厂协商：首先，员工可以尝试与工厂管理层进行沟通，表达自己的诉求和权益，要求工厂改正违法行为并支付相应的加班费。
• 向劳动监察部门投诉：如果协商无果，员工可以向当地劳动监察部门投诉，请求其介入调查并处理工厂的违法行为。
• 申请劳动仲裁或提起诉讼：在投诉无果的情况下，员工还可以选择申请劳动仲裁或提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。

在处理此类问题时，员工应保留好相关证据，如加班记录、工资单等，以便在需要时提供证明。如果还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。