结论：在刑事诈骗案件中，若37天检察院不批准逮捕，公安机关是否会让签认罪认罚书，需结合案件具体情况分析，但通常不会仅因不批捕而直接要求签署，后续处理需遵循法定程序。以下从不同角度详细说明：

一、检察院不批捕后的法定程序

1. 立即释放或变更强制措施
   根据《刑事诉讼法》第九十五条，检察院不批准逮捕的，公安机关应当立即释放被拘留人，并将执行情况及时通知检察院。若需继续侦查且符合取保候审、监视居住条件，公安机关可依法变更强制措施，而非直接要求签署认罪认罚书。

2. 补充侦查与重新提请批捕
   若公安机关认为仍需逮捕，需补充证据后重新提请检察院审查批准。此阶段，公安机关可能结合补充证据情况，与犯罪嫌疑人沟通认罪认罚事宜，但并非法定必经程序。

二、认罪认罚书的签署时机与条件

1. 签署时机
   认罪认罚从宽制度贯穿刑事诉讼全过程，但签署时机通常在审查起诉阶段（检察院阶段）更为常见。此时，检察院已全面掌握案件证据，能更准确评估量刑建议，犯罪嫌疑人也可在律师协助下充分权衡利弊。

2. 签署条件
   签署认罪认罚书需满足：

   • 犯罪嫌疑人自愿认罪；
     
   • 认可检察院指控的犯罪事实和量刑建议；
     
   • 在律师或值班律师在场见证下签署。
     若公安机关在检察院不批捕后直接要求签署，可能因程序瑕疵导致认罪认罚无效。

三、公安机关可能的行为及法律后果

1. 合法行为：继续侦查与沟通
   公安机关可能继续补充证据，并在证据充分后重新提请批捕或移送起诉。此过程中，公安机关可能向犯罪嫌疑人说明法律后果，引导其自愿认罪认罚，但需严格遵循自愿、合法原则。

2. 违法行为：强制或变相强制签署
   若公安机关以不释放、不取保候审等为由，强制或变相强制犯罪嫌疑人签署认罪认罚书，则违反《刑事诉讼法》第五十二条（不得强迫任何人证实自己有罪）及认罪认罚从宽制度的相关规定。犯罪嫌疑人可向检察院申诉，或通过律师提出程序违法异议。

四、实务建议

1. 对犯罪嫌疑人的建议

   • 若公安机关要求签署认罪认罚书，务必要求律师或值班律师在场；
     
   • 仔细阅读文书内容，确保自愿、明知后果后签署；
     
   • 若认为程序违法或量刑建议过重，可拒绝签署并通过律师提出异议。

2. 对家属的建议

   • 及时委托律师介入，了解案件进展及强制措施变更情况；
     
   • 监督公安机关是否依法执行不批捕决定，避免超期羁押；
     
   • 若发现程序违法，可向检察院控告申诉部门反映。

总结：检察院不批捕后，公安机关通常不会直接要求签署认罪认罚书，而是需遵循法定程序释放或变更强制措施。若公安机关在后续侦查中提出认罪认罚，犯罪嫌疑人应在律师协助下审慎决策。如有疑问，可直接向我咨询刑事辩护相关问题。