结论：未满16周岁的未成年人因打架被拘留不执行10天后，若对方轻伤鉴定为二级，该未成年人通常不会因此再次被拘留，但可能会面临其他法律后果。

分析：

1. 刑事责任方面：

   • 根据《中华人民共和国刑法》的规定，已满十四周岁不满十六周岁的人，仅对特定八类严重犯罪（如故意杀人、故意伤害致人重伤或死亡等）负刑事责任。打架致人轻伤二级，并未达到故意伤害致人重伤的程度，因此该未成年人通常不负刑事责任。

2. 行政责任方面：

   • 虽然该未成年人可能因打架行为违反《中华人民共和国治安管理处罚法》，但根据该法规定，对于已满十四周岁不满十六周岁的未成年人，若应当给予行政拘留处罚的，不执行行政拘留处罚。因此，在对方轻伤鉴定为二级的情况下，该未成年人不会因此再次被行政拘留。

3. 民事责任方面：

   • 无论该未成年人是否承担刑事责任或行政责任，其监护人都需要承担民事赔偿责任。这包括赔偿受害人因就医治疗支出的各项费用（如医疗费、护理费、交通费等）以及因误工减少的收入。监护人应积极履行赔偿义务，以保障受害人的合法权益。

4. 其他法律后果：

   • 公安机关可能会责令该未成年人的父母或其他监护人加以管教，并在必要的时候依法进行专门矫治教育。这是为了帮助该未成年人树立正确的价值观和行为准则，防止其再次实施违法行为。
   • 尽管该未成年人未受刑事处罚，但此次不良行为记录可能对其未来报考某些特殊职业（如公务员、军人等）产生限制。因此，监护人应重视对未成年人的教育和引导，帮助其树立正确的行为观念。

建议：

• 监护人应积极与受害人协商赔偿事宜，并尽快履行赔偿义务，以减轻法律后果和避免进一步的纠纷。
• 监护人应加强对未成年人的教育和监管，引导其树立正确的价值观和行为准则，防止其再次实施违法行为。
• 若该未成年人面临法律纠纷或需要法律帮助，监护人应及时咨询专业律师，以维护其合法权益。

如有其他法律问题，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供进一步的法律建议。