生效民事判决的部分事实发现可能涉及刑事案件时，应综合考虑民事与刑事案件的关联程度，采取相应措施处理。以下是对此情况的具体分析：
一. 民事与刑事案件关联程度的判断
关联不大：
- 若民事判决与刑事案件关联不大，民事判决的效力一般不受影响，可继续执行民事判决。
- 刑事案件则按照独立的刑事程序进行处理，两者互不干扰。
存在关联：
- 若民事判决中的部分事实与刑事案件存在紧密关联，可能影响到民事判决的正确性或执行，则需进一步考虑处理措施。
二. 存在关联时的处理措施
启动审判监督程序：
- 法律依据：《中华人民共和国民事诉讼法》相关规定，如各级人民法院院长、上级人民法院或当事人发现已生效判决确有错误，可启动审判监督程序。
- 处理方式：通过审判监督程序，法院可重新审理民事案件，结合刑事案件的新事实、新证据，对原民事判决进行审查和判断。如发现原判决确有错误，应依法予以纠正。
中止民事执行程序：
- 适用条件：当民事判决可能因刑事案件的新事实、新证据而受到影响时，为避免执行结果与后续可能作出的新民事判决结果不一致，可中止执行程序。
- 处理方式：法院可裁定中止民事判决的执行，待刑事案件审理终结后再决定是否恢复执行。
考虑刑事附带民事诉讼：
- 适用条件：如刑事案件中的犯罪行为直接给民事案件中的当事人造成了物质损失，受害人可在刑事诉讼过程中提起附带民事诉讼。
- 处理方式：附带民事诉讼与刑事案件一并审判，以提高诉讼效率，确保受害人的合法权益得到及时保护。
三. 综合影响与处理
- 刑事案件的审理结果（如判决、裁定等）将直接影响民事案件的后续处理。
- 如刑事判决认定的事实与民事判决存在冲突，可能导致民事判决被撤销、变更或重新审判。
我建议：在遇到生效民事判决的部分事实发现可能涉及刑事案件的情况时，应及时与律师沟通，根据具体案情和法律规定，制定合适的应对策略。同时，要密切关注刑事案件的进展，以便及时调整民事案件的处理方式。如有进一步需要，您可以继续咨询我。