私下和解时，双方是可以签订庭外协议的。以下从不同角度为你详细分析：
法律层面
从法律角度来看，私下和解并签订庭外协议是完全合法的。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，民事主体有权按照自己的意愿依法设立、变更、终止民事法律关系。这意味着，在民事纠纷中，双方当事人有权通过协商达成和解，并签订书面协议来明确各自的权利和义务。这种庭外协议，只要内容合法、不违反公序良俗，且双方意思表示真实，就具有法律效力。
实际操作层面
协议内容：庭外协议的内容应当明确、具体，包括双方的基本信息、纠纷的事实和理由、和解的条件和方式、违约责任等。这样，在协议履行过程中，一旦出现争议，可以依据协议内容迅速解决。
签订形式：虽然口头协议在某些情况下也具有法律效力，但为了避免后续争议，建议双方签订书面协议。书面协议可以更直观地展示双方的意思表示，也更容易作为证据使用。
协议履行：签订庭外协议后，双方应当按照协议内容履行各自的义务。如果一方不履行协议，另一方可以依据协议向法院提起诉讼，要求对方承担违约责任。
注意事项
协议合法性：在签订庭外协议时，必须确保协议内容合法，不违反法律法规的强制性规定。否则，协议可能被认定为无效。
意思表示真实：双方签订协议时，必须确保意思表示真实，不存在欺诈、胁迫等情形。否则，受欺诈或胁迫的一方有权请求法院撤销协议。
协议备案：虽然庭外协议不需要向法院备案，但为了确保协议的履行和后续争议的解决，建议双方将协议妥善保管，并可以考虑进行公证或律师见证。
可能的法律后果
如果双方签订了庭外协议并履行了各自的义务，那么纠纷就得到了妥善解决。但如果一方不履行协议，另一方可以依据协议向法院提起诉讼。在诉讼过程中，法院会审查协议的合法性、真实性和履行情况，并据此作出判决。如果协议被认定为有效且一方未履行义务，那么违约方可能需要承担违约责任，包括赔偿损失等。
总结与建议：私下和解并签订庭外协议是一种合法且有效的纠纷解决方式。在签订协议时，双方应当确保协议内容合法、意思表示真实，并妥善保管协议。如果遇到法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。