庭下调解可以签协议书。以下是对此问题的详细分析：
一、庭下调解与协议书的关系
庭下调解，即在法庭正式开庭审理之前，双方当事人通过协商、谈判等方式，就争议事项达成一致意见的过程。而协议书，则是双方当事人就调解结果所签订的书面文件，用于明确双方的权利和义务，以及调解结果的具体内容。在庭下调解过程中，签订协议书是常见且重要的环节，它有助于确保调解结果的明确性和可执行性。
二、签订协议书的法律依据
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，调解达成协议，人民法院应当制作调解书。调解书应当写明诉讼请求、案件的事实和调解结果。调解书由审判人员、书记员署名，加盖人民法院印章，送达双方当事人。虽然该条款主要针对的是法院主持下的调解，但庭下调解作为当事人自愿进行的协商过程，其签订协议书的做法同样具有法律效力。因为协议书是双方当事人真实意思的表示，且不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，因此是有效的。
三、签订协议书的注意事项
协议内容明确：协议书应当明确双方当事人的权利和义务，以及调解结果的具体内容，避免出现模糊不清或产生歧义的条款。
双方自愿签订：协议书必须是双方当事人自愿签订的，不得存在欺诈、胁迫等情形。否则，协议书可能被认定为无效。
法律程序合规：虽然庭下调解不涉及法院的正式审理程序，但双方当事人在签订协议书时，仍应遵守相关法律法规的规定，确保协议书的合法性和有效性。
保留证据：在签订协议书后，双方当事人应妥善保管协议书原件，并留存相关证据，以备不时之需。
四、协议书的法律效力
一旦双方当事人签订了协议书，该协议书即具有法律效力。如果一方当事人不履行协议书所规定的义务，另一方当事人可以依据协议书向人民法院提起诉讼，要求对方履行义务或承担违约责任。
建议：在庭下调解过程中，双方当事人应积极沟通、协商，就争议事项达成一致意见，并签订明确的协议书。如果对协议书的内容或签订程序存在疑问，可以直接向我咨询，以确保自身权益得到保障。