结论：若医生延误错过抢救时间，即便家属放弃医疗，依然有权起诉医院，但能否胜诉需结合具体证据和法律分析。以下从法律权利、起诉流程、注意事项三个角度展开说明。
一、法律权利：家属有权起诉医院
根据《民法典》侵权责任编及《医疗事故处理条例》，患者在接受医疗服务过程中享有获得及时、适当治疗的权利。若医疗机构或医务人员因过失（如延误诊断、未及时采取抢救措施）导致患者损害，患者或其家属有权要求医疗机构承担民事赔偿责任。
关键点：
- 过错责任：需证明医院存在“未尽到与当时医疗水平相应的诊疗义务”（如未及时安排手术、未监测病情变化等）。
- 因果关系：需证明延误行为与患者损害后果（如死亡、残疾）之间存在直接因果关系。
- 放弃医疗不影响起诉：家属放弃治疗可能是基于病情已不可逆，但若医院此前延误导致病情恶化，仍可追究其责任。
二、起诉流程：分四步走
- 协商调解
家属可先与医院沟通，要求书面说明延误原因及赔偿方案。若医院拒绝或方案不合理，可进入下一步。
- 医疗事故鉴定
向当地医学会申请医疗事故技术鉴定，明确医院是否存在过错、过错比例及责任等级。鉴定结论是诉讼的关键证据。
- 行政调解
向卫生行政部门申请调解，由第三方介入协商赔偿。调解成功可签订协议，具有法律效力；调解不成则进入诉讼。
- 民事诉讼
直接向法院起诉，要求医院赔偿医疗费、误工费、丧葬费、死亡赔偿金等。诉讼时效为3年，自知道或应当知道权利受损之日起算。
三、注意事项：证据与策略
证据收集
- 医疗记录：病历、护理记录、检查报告、医嘱单等（需封存原件）。
- 证人证言：其他医护人员或患者的证言（如证明延误事实）。
- 专家意见：委托司法鉴定机构出具专业意见，证明医院过错与损害的因果关系。
- 监控录像：若抢救室有监控，可要求调取以证明延误时间。
诉讼策略
- 明确诉求：根据损害后果（如死亡、伤残等级）计算赔偿金额。例如，死亡赔偿金=上一年度城镇居民人均可支配收入×20年（60岁以下）。
- 因果关系论证：需排除其他因素（如患者自身疾病进展）对损害结果的影响。
- 心理准备：医疗纠纷诉讼周期长（通常6-12个月），需做好长期维权准备。
四、风险提示：可能败诉的情形
若医院能证明以下情形，可能不承担责任：
- 病情不可逆：即使及时抢救，患者仍可能死亡或残疾（需医学证据支持）。
- 家属干扰治疗：如家属拒绝签字导致延误（需医院举证）。
- 医疗水平限制：医院已尽到当时医疗条件下的最大努力（如设备故障、技术局限）。
建议：若您遇到此类情况，建议尽快联系律师协助封存病历、申请鉴定，并制定诉讼策略。有问题可直接向我咨询，我会结合具体证据为您分析胜诉概率及赔偿方案。