在处理这种情况时，核心在于如何以诚恳、尊重且专业的态度与业主沟通，说明工人因家庭突发情况（亲人去世）导致的工作进度延误。以下是从不同角度给出的分析和建议：

1. 沟通原则

• 诚恳与尊重：首先，要表达对业主的尊重，同时诚恳地说明工人面临的困境。避免使用借口或推脱责任的语言，而是直接、清晰地陈述事实。
• 专业与负责：在沟通中，要体现出作为雇主或管理者的专业性和对工作的责任感，说明正在采取的措施以尽量减少延误。

2. 沟通内容建议

• 说明情况：直接告知业主，工人因家中亲人去世，需要处理后事和家庭事务，因此暂时无法全身心投入工作，导致进度有所延误。
• 表达歉意：对因此给业主带来的不便表示诚挚的歉意，并强调这并非工人或管理方的本意。
• 提出解决方案：说明正在采取的措施，如调整工作计划、增加其他工人以弥补进度，或提供其他可行的解决方案。
• 承诺后续跟进：向业主承诺，会密切关注工作进度，确保在工人返回后能够迅速恢复并加快工作，以尽量减少对整体项目的影响。

3. 沟通方式选择

• 面对面沟通：如果条件允许，最好选择面对面沟通的方式，这样更能体现诚意和尊重，也更容易获得业主的理解和支持。
• 书面沟通：如果无法面对面沟通，可以通过邮件或信函的方式详细说明情况，并附上解决方案和后续跟进计划。
• 电话沟通：在紧急情况下，可以先通过电话简要说明情况，并约定后续详细沟通的时间和方式。

4. 法律与合同角度考虑

• 合同条款：检查与业主签订的合同中是否有关于工作进度延误的条款，以及因不可抗力（如家庭突发情况）导致的延误是否属于免责范围。
• 法律义务：作为雇主或管理方，有义务向业主如实报告工作进度和可能的影响，并采取合理措施减少延误。

5. 示例沟通话术

• “尊敬的业主，您好！非常抱歉地通知您，由于我们的一位工人家中亲人突然去世，他需要处理后事和家庭事务，因此暂时无法全身心投入工作，导致项目进度有所延误。我们对此深感歉意，并正在采取调整工作计划、增加其他工人等措施以尽量减少延误。我们会密切关注工作进度，确保在工人返回后能够迅速恢复并加快工作。请您理解并支持我们的工作，如有任何疑问或建议，请随时与我们联系。”

在处理此类情况时，关键在于以诚恳、尊重且专业的态度与业主沟通，说明实际情况，并提出合理的解决方案。如果有任何具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。