核心结论：若大拇指做手术系因工作原因导致，可依法申请工伤认定并要求公司承担相应赔偿责任；若非工作原因，则需根据具体情况判断公司是否存在过错，进而确定是否可索赔。以下分情况详细说明：

1. 因工作原因导致大拇指受伤做手术

• 法律依据：根据《工伤保险条例》，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。若大拇指受伤符合这一情形，您有权享受工伤保险待遇。
• 索赔流程：
  1. 及时报告：受伤后应立即向公司报告，并要求公司协助申请工伤认定。
  2. 工伤认定：公司应在事故发生之日起30日内向社会保险行政部门提出工伤认定申请；若公司未申请，您或您的近亲属可在1年内直接提出申请。
  3. 医疗救治：在工伤认定期间，您应尽快接受医疗救治，并保留好所有医疗费用单据。
  4. 劳动能力鉴定：待伤情稳定后，可申请劳动能力鉴定，以确定伤残等级。
  5. 索赔项目：根据伤残等级，您可要求公司支付医疗费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等费用。若公司未缴纳工伤保险，所有费用由公司承担。

2. 非工作原因导致大拇指受伤做手术

• 公司责任判断：若大拇指受伤非因工作原因，则需判断公司是否存在过错（如提供的工作环境存在安全隐患、未提供必要的安全防护措施等）。
• 索赔条件：
  1. 过错存在：您需证明公司存在过错，且该过错与您的受伤存在因果关系。
  2. 证据收集：收集相关证据，如现场照片、证人证言、医疗记录等，以证明公司过错。
  3. 协商或诉讼：可先与公司协商赔偿事宜；若协商不成，可向法院提起民事诉讼，要求公司承担侵权责任。

3. 其他注意事项

• 保留证据：无论何种情况，均应保留好所有与受伤、治疗相关的证据，以备后续索赔之需。
• 及时行动：工伤认定和索赔均有时间限制，务必在规定时间内行动，以免丧失权利。
• 专业协助：若对流程或法律条款不熟悉，可寻求专业法律人士的协助，以确保权益得到最大保障。

总结：大拇指做手术能否向公司索赔，关键在于受伤原因及公司是否存在过错。若因工作原因受伤，可依法申请工伤认定并索赔；若非工作原因，则需根据具体情况判断公司责任。如有任何疑问或需要进一步帮助，请随时向我咨询。