可以起诉，但能否胜诉及获得赔偿需视具体情况而定。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律背景与依据
在医疗纠纷中，患者（或其法定代理人，如您作为孩子的监护人）有权就医疗机构或医务人员的过错行为导致的损害提起诉讼。这主要依据的是《民法典》中关于侵权责任的规定，特别是医疗损害责任的相关条款。若医院推荐的生长激素未达到预期效果，甚至对孩子造成了损害，且这种损害与医院的推荐行为存在因果关系，那么您就有权起诉医院。
二、起诉条件与证据收集
证明医院存在过错：
- 您需要收集证据证明医院在推荐生长激素时未尽到充分的告知义务，如未告知可能的副作用、未根据孩子的具体情况进行个性化推荐等。
- 或者证明医院在推荐过程中存在误导性宣传，如夸大生长激素的效果、隐瞒风险等。
证明损害结果：
- 您需要提供医疗记录、检查报告等证据，证明孩子在使用生长激素后未达到预期效果，甚至出现了不良反应或损害。
证明因果关系：
- 您需要证明孩子的损害结果与医院推荐的生长激素之间存在因果关系。这可能需要通过专业的医疗鉴定来确认。
三、可能的法律后果与赔偿
若胜诉：
- 医院可能需要承担赔偿责任，包括赔偿您因孩子使用生长激素而产生的医疗费用、误工费（如您因照顾孩子而产生的收入损失）、精神损害抚慰金等。
- 具体赔偿金额需根据孩子的损害程度、医院的过错程度以及相关法律法规来确定。
若败诉：
- 若您无法提供充分的证据证明医院存在过错或损害结果与医院的行为存在因果关系，那么您可能无法获得赔偿。
四、建议与行动步骤
收集证据：
- 尽快收集与孩子使用生长激素相关的所有医疗记录、检查报告、费用单据等。
- 保留与医院沟通的所有记录，包括书面材料、录音、视频等。
咨询专业医疗鉴定机构：
- 考虑咨询专业的医疗鉴定机构，对孩子的损害结果与生长激素的使用之间是否存在因果关系进行鉴定。
起诉前准备：
- 在起诉前，您可以先尝试与医院进行协商，看是否能够达成和解。
- 若协商无果，您可以准备起诉材料，包括起诉状、证据清单等，并向法院提起诉讼。
寻求法律援助：
- 若您在起诉过程中遇到困难或需要专业的法律帮助，可以寻求法律援助或咨询专业律师（比如我）。
最后需要强调的是，每个医疗纠纷案件都有其独特性和复杂性。因此，在决定是否起诉以及如何起诉之前，建议您充分了解相关法律法规和诉讼程序，并咨询专业律师（比如我）的意见。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。