故意杀人犯罪嫌疑人在公安机关控制下自杀的，公安机关会进行急救。以下从不同角度对此问题进行详细分析：

公安机关的职责与义务

1. 保护生命权：根据《中华人民共和国人民警察法》的相关规定，人民警察有保护公民人身安全和人身自由的职责。这包括在犯罪嫌疑人处于公安机关控制下时，对其生命安全负有保护义务。因此，当犯罪嫌疑人试图自杀时，公安机关有责任立即采取措施进行急救，以防止其生命受到威胁。

2. 人道主义原则：从人道主义的角度出发，无论犯罪嫌疑人的罪行如何，其生命权都应得到尊重和保护。公安机关在执行职务时，应遵循人道主义原则，对处于危急状态下的犯罪嫌疑人进行必要的救助。

急救措施的具体实施

1. 现场急救：在犯罪嫌疑人自杀未遂的情况下，公安机关应立即进行现场急救，如止血、心肺复苏等，以稳定其生命体征。

2. 联系医疗机构：同时，公安机关应迅速联系医疗机构，将犯罪嫌疑人送往医院进行进一步的治疗和抢救。

法律后果与责任

1. 不作为的法律后果：如果公安机关在犯罪嫌疑人自杀时未采取必要的急救措施，导致犯罪嫌疑人死亡或严重伤残，相关人员可能因不作为而承担法律责任。

2. 急救过程中的法律责任：在急救过程中，公安机关应确保急救措施的合法性和适当性。如果因急救措施不当导致犯罪嫌疑人受到进一步伤害，相关人员也可能承担相应的法律责任。不过，这种责任通常是在急救措施明显不当或存在故意的情况下才会产生。

特殊情况下的考虑

1. 自杀行为的性质：虽然犯罪嫌疑人试图自杀，但这并不改变其作为犯罪嫌疑人的身份。公安机关在对其进行急救的同时，仍应依法对其进行调查和审判。

2. 急救与侦查的平衡：在急救过程中，公安机关应确保侦查工作的连续性和有效性。例如，在送医途中或医院内，公安机关可以依法对犯罪嫌疑人进行看护和询问，以获取相关证据和信息。