核心结论：该男子可依法通过法律途径维护自身权益，包括主张返还抚养费、要求精神损害赔偿及解除亲子关系等。以下是具体分析及建议：

1. 法律关系认定：非亲生子女的权利义务

根据《民法典》第1073条，对亲子关系有异议的，父或母可提起诉讼确认或否认亲子关系。本案中，若鉴定确认两儿子非亲生，该男子与两名子女间无法定抚养义务，其此前支付的抚养费、教育费等可主张返还。

法律依据：

• 《民法典》第1071条：非婚生子女享有与婚生子女同等权利，但本案中子女与“父亲”无血缘关系，不适用该条。
• 《民法典》第1067条：父母对子女有抚养义务，但以存在亲子关系为前提。

2. 追偿抚养费：可主张的赔偿范围

该男子可要求配偶（子女生母）返还其已支付的抚养费，包括：

• 直接支出：生活费、教育费、医疗费等；
• 间接损失：如因抚养子女减少的收入或投资机会损失（需举证）。

操作建议：

• 收集支付凭证（银行流水、转账记录、收据等）；
• 通过司法鉴定确认无亲子关系后，向法院起诉配偶返还费用。

3. 精神损害赔偿：能否主张及标准

配偶隐瞒非亲生事实，构成对婚姻忠诚义务的严重违反，可能被认定为“重大过错”，该男子可主张精神损害赔偿。

法律依据：

• 《民法典》第1091条：与他人同居导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿；
• 司法实践：隐瞒非亲生子女事实通常被认定为“其他重大过错”，支持精神赔偿。

赔偿标准：

• 结合侵权情节、过错程度、当地经济水平等因素，一般数千元至数万元不等。

4. 解除亲子关系：法律程序与后果

若该男子希望彻底解除与两名子女的法律关系，需通过法院确认无亲子关系，此后：

• 不再承担抚养义务；
• 丧失继承权（子女亦无法继承其财产）；
• 赡养义务免除（子女成年后无需赡养该男子）。

注意：

• 解除亲子关系不影响子女与生母的权利义务；
• 若子女未成年，生母需独立承担抚养责任。

5. 实务建议：行动步骤

1. 固定证据：保存亲子鉴定报告、支付凭证、沟通记录等；
2. 协商解决：与配偶协商返还费用及赔偿，签订书面协议；
3. 起诉维权：协商不成时，向法院提起“否认亲子关系纠纷”及“财产返还纠纷”诉讼；
4. 心理支持：此类事件对情感冲击较大，建议同步寻求心理咨询。

总结：该男子可通过法律途径追回经济损失、获得精神赔偿，并彻底解除与非亲生子女的法律关系。具体操作需结合证据情况，建议尽快委托律师介入处理。如有进一步疑问，可直接向我提问。