针对您提出的“继父离世，母亲健在，继子女和母亲怎样分配抚恤金”的问题，我们可以从以下几个方面进行详细解答：

一、抚恤金的性质

首先，需要明确的是，抚恤金并不属于遗产性质。它是职工死亡后，有关单位依照法律规定给予死者家属的物质帮助和精神抚慰，主要用于优抚、救济死者家属，特别是那些依靠死者生活的未成年和丧失劳动能力的亲属，以及对死者尽了主要义务或者与死者生前共同生活的亲属。因此，抚恤金不能作为遗产被继承，但可以参照遗产继承的原则进行分配。

二、分配原则

在分配抚恤金时，应综合考虑以下因素：

1. 与死者的亲密程度：通常，与死者关系更亲密的亲属会分得更多的抚恤金。
2. 对死者所尽扶养或赡养义务：那些对死者尽了主要扶养或赡养义务的亲属，在分配抚恤金时应予以适当多分。
3. 生活状况：对于生活有特殊困难且缺乏劳动能力的亲属，分配抚恤金时应予以照顾。

三、具体分配情况

针对您的情况，继父离世后，母亲作为配偶是第一顺序继承人，同时继子女如果与继父存在扶养关系，也视为有扶养关系的继子女，同样享有分配抚恤金的权利。具体分配时：

• 母亲：作为配偶，与死者关系最为亲密，且可能承担了主要的赡养义务，因此在分配抚恤金时应予以适当多分。
• 继子女：如果与继父存在扶养关系，即继父对继子女进行了抚养教育，或者继子女对继父尽了赡养义务，那么他们也有权参与抚恤金的分配。分配时，可以根据他们对继父的扶养程度、生活状况等因素进行酌定。

四、实际操作建议

1. 协商处理：首先，建议家庭成员之间本着互谅互让、和睦团结的精神，通过协商处理抚恤金的分配问题。这样可以避免不必要的法律纠纷，维护家庭和谐。
2. 法律途径：如果协商不成，可以通过法律途径解决。可以咨询专业律师，了解具体的法律程序和规定，然后向法院提起诉讼，由法院根据具体情况进行判决。

五、法律依据

在处理此类问题时，可以参照《中华人民共和国民法典》中关于继承和共有财产的相关规定。特别是第一千一百二十二条关于遗产的定义，以及第一千一百二十七条关于继承顺序的规定，这些都可以为抚恤金的分配提供法律支持。

综上所述，继父离世后，母亲和继子女在分配抚恤金时，应综合考虑与死者的亲密程度、对死者所尽扶养或赡养义务、生活状况等因素，通过协商或法律途径进行合理分配。