往门市上喷字且未消除超过半年，该违法行为并未超过追究时效。以下是对此问题的详细分析：
一、追究时效的法律规定
根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，违反治安管理行为在六个月内没有被公安机关发现的，不再处罚。但这里的“六个月”是从违法行为发生之日起计算，且需满足“未被公安机关发现”的条件。若违法行为在六个月内已被公安机关发现，或虽超过六个月但公安机关在此期间已立案调查，则不受六个月时效的限制。
二、具体情境分析
违法行为持续状态：
- 若喷字行为本身构成违法（如故意损毁公私财物），且该行为造成的后果（如门市上的字迹）持续存在超过半年，这并不意味着违法行为已经“结束”并超过追究时效。因为违法行为的后果仍在持续，公安机关仍可对此进行调查并处罚。
公安机关的发现与立案：
- 如果在喷字行为发生后的六个月内，公安机关已经通过监控、报案等方式发现了该违法行为，或者虽超过六个月但公安机关已经立案调查，那么即使字迹未消除，也不受六个月时效的限制。
时效的中断与重新计算：
- 在某些情况下，如违法行为人逃避调查、隐藏证据等，可能导致时效的中断。中断后，时效期间将重新计算。但这一规定通常适用于更复杂的刑事案件，对于简单的治安案件，其适用性可能有限。不过，它说明了时效并非一成不变，而是可能因特定行为而中断。
三、法律建议
及时消除影响：
- 无论是否超过追究时效，建议尽快消除门市上的字迹，以减少对门市经营和形象的不利影响。
配合公安机关调查：
- 如果公安机关已经对此事进行调查，应积极配合，提供必要的证据和信息，以避免因不配合而加重处罚。
咨询专业律师：
- 如果对此事的处理存在疑问或担忧，建议咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和指导。不过，就本问题而言，我已给出了明确的法律分析。
如有任何法律问题，特别是涉及刑事辩护、律师会见、取保候审、合同纠纷、侵权纠纷等领域的问题，可以直接向我咨询。我将运用我的专业知识和经验，为你提供全面、准确的法律解答。