留置后提请逮捕的规定主要遵循《中华人民共和国刑事诉讼法》关于逮捕条件的相关规定。具体分析如下：
一. 逮捕的前提条件
有证据证明犯罪事实存在：这要求案件中有确实、充分的证据能够证明被留置人存在犯罪事实，且这些证据必须查证属实，能够形成完整的证据链。例如，通过物证、书证、证人证言等多种证据形式，综合证明被留置人的犯罪行为。
可能判处徒刑以上刑罚：基于对被留置人所犯罪行的预判，如果认为其可能面临徒刑以上的刑罚，则满足这一条件。这通常涉及到对被留置人犯罪行为的性质、情节、社会危害程度等方面的综合评估。
取保候审不足以防止社会危险性：如果被留置人采取取保候审措施尚不足以防止其发生社会危险性，如有逃跑、毁灭证据等风险，那么就有逮捕的必要。这一条件的判断需要综合考虑被留置人的个人情况、犯罪性质以及社会影响等因素。
二. 特殊逮捕条件
在特定情况下，如被留置人可能判处十年有期徒刑以上刑罚，或者曾经故意犯罪、身份不明等，可能适用特殊逮捕条件，即径行逮捕或转化逮捕。这些特殊条件旨在更严格地控制高风险犯罪嫌疑人，确保社会安全和司法公正。
三. 批捕程序与执行
对于监察机关移送起诉的留置案件，人民检察院经审查后，若认为需要逮捕犯罪嫌疑人，应由人民检察院作出决定，并由公安机关执行。此时，已采取的留置措施自动解除，转为逮捕措施。这一程序确保了逮捕决定的合法性和正当性，同时也保障了被留置人的合法权益。
综上所述，留置后提请逮捕的规定是一个严格而复杂的法律程序，必须同时满足上述前提条件，并根据具体情况考虑是否适用特殊逮捕条件。在整个过程中，应严格遵守法律规定，确保被留置人的合法权益得到充分保障。如有进一步需要，您可以继续咨询我。