在父亲去世、母亲还在的情况下，母亲确实可以放弃继承父亲的遗产，并将其应得的份额给予儿子。以下是对这一问题的详细解答：

1. 母亲放弃继承的法律程序：

   • 母亲需要以书面形式清晰地表明放弃继承的意愿，并且要在处理遗产之前作出这样的意思表示。书面声明最好经过公证机构公证，以增强其法律效力。
   • 母亲放弃继承后，其应得的遗产份额将由其他法定继承人依照规定进行继承，或者直接归属于特定的子女等。

2. 子女接受遗产的法律手续：

   • 如果涉及房产等不动产，子女需向不动产登记部门申请办理转移登记。申请时，要提交被继承人的死亡证明、不动产权属证书、母亲放弃继承声明（公证的最佳）、与被继承人的亲属关系证明等材料。
   • 若涉及其他动产或财产权益，子女需根据具体情况，按相关管理规定或财产所在机构要求，提交能证明母亲放弃继承及自身继承权的材料，办理相应权益变更手续，完成遗产接收。

3. 母亲放弃继承后子女的债务责任：

   • 继承遗产应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务，缴纳税款和清偿债务以遗产实际价值为限。
   • 如果母亲明确放弃继承，那么从法律角度，母亲无需对被继承人的债务承担偿还责任。
   • 对于子女而言，若子女未继承遗产，通常情况下也无需承担被继承人的债务，债务以被继承人遗产实际价值为限进行清偿。但如果子女实际继承了遗产，那就需要在继承遗产的范围内对被继承人的债务承担清偿责任。

4. 特殊情况的处理：

   • 若有遗嘱且遗嘱明确指定遗产的分配方式，应按遗嘱执行。同时，若存在遗赠扶养协议等其他约定，也需依协议处理。
   • 在某些情况下，如涉及房产等大额财产，还可能会有相关税费等问题，子女在接受遗产时需注意这些细节。

综上所述，母亲在父亲去世后有权放弃继承，并将其应得的遗产份额给予儿子。但这一过程中需遵循一定的法律程序，并注意可能涉及的债务责任和特殊情况。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。