针对您提出的“第三方给做的车辆抵押贷款到期后不给绿本怎么办”这一问题，以下是我为您提供的清晰、详细、有深度的解答：

首先，要明确的是，在贷款完全结清后，贷款机构有义务归还您的车辆绿本（机动车登记证书）。若对方未履行此义务，您可采取以下步骤来维护自己的合法权益：

1. 核实还款情况并主动联系：

   • 确保您已完全还清了贷款，包括本金、利息及其他相关费用，并获取官方的贷款结清证明或详细的还款明细。
   • 主动联系贷款机构，通过电话、邮件或亲自前往其办公地点，礼貌地说明贷款已还清，并请求寄送绿本。提供贷款账号、还款证明及个人身份信息以供核实。

2. 书面催告与申请：

   • 若口头沟通无果，建议您撰写一封正式的书面催告函或申请信，明确指出贷款已还清的事实，要求贷款机构按照合同约定归还绿本，并限定合理的回应期限。
   • 通过邮政特快专递（EMS）发送催告函或申请信，并保留好寄送凭证和回执，以备后续可能需要的法律程序。

3. 收集并保留证据：

   • 在整个过程中，务必收集并妥善保存所有相关证据，包括但不限于车贷合同、还款记录、沟通记录（电话录音、短信、邮件等）、书面催告函的回执等。
   • 这些证据将在后续的法律纠纷或投诉中发挥关键作用，有助于您证明自己的权益和贷款机构的违约行为。

4. 向监管部门投诉：

   • 如果贷款机构是正规的金融机构，如银行或汽车金融公司，您可以向当地的银保监会或其所属的汽车品牌总部投诉。
   • 提交详细的投诉材料，包括上述收集的证据，说明情况，请求监管部门介入调查并督促贷款机构解决问题。

5. 法律途径：

   • 若投诉后仍未能得到有效解决，您可咨询专业律师，了解在您的具体情况下可以采取的法律行动。
   • 考虑委托律师发送律师函，明确告知贷款机构其行为的违法性以及可能面临的法律后果，要求其在规定期限内归还绿本。
   • 如律师函也未能促使对方归还绿本，您可向有管辖权的人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，向法院提交之前收集的各项证据，请求法院判令贷款机构归还绿本，并可要求对方承担因拖延归还绿本给您造成的损失。

6. 耐心等待与冷静处理：

   • 在采取进一步行动之前，给予贷款机构一定的时间来处理您的请求。
   • 保持冷静和耐心，避免采取过激行为或言辞，以免对问题的解决产生不利影响。

此外，我还想提醒您，在办理汽车贷款时，尽量选择去银行或者那些经过中国银行业监督管理委员会批准设立并拥有金融许可证的正规机构办理业务，以降低类似风险的发生。

希望以上解答能对您有所帮助，若您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告知。