检察机关可以申请排除辩方非法证据，但不可以申请启动非法证据排除调查程序。具体分析如下：
一. 检察机关对辩方非法证据的申请排除
非法证据排除规则的适用：根据《刑事诉讼法》第56条，法庭审理过程中，如果审判人员认为可能存在以非法方法收集证据的情形，应当对证据收集的合法性进行法庭调查。当事人及其辩护人、诉讼代理人有权申请人民法院对以非法方法收集的证据依法予以排除。这里的“当事人”包括辩方，意味着辩方提供的证据同样应接受合法性审查。
辩方证据的合法性要求：依据《刑事诉讼法》第48条和第53条，作为定案根据的任何证据都必须经法定程序查证属实，并具有合法性。因此，辩方提供的证据也不例外，必须满足合法性的要求。
检察机关的申请排除权利：虽然《刑事诉讼法》没有明确规定检察机关可以申请排除辩方非法证据，但根据非法证据排除规则的精神和原则，以及检察机关作为法律监督机关的职责，检察机关有权对辩方提供的非法证据提出质证意见，并建议法庭不予采信。如果法庭经审查认为辩方提供的证据属于非法证据，应当予以排除，不得作为定案根据。
二. 检察机关不能申请启动非法证据排除调查程序
非法证据排除调查程序的启动：根据相关规定，非法证据排除调查程序主要是针对公诉方提供的证据，在庭审中对其合法性进行调查的程序。这一程序通常是由当事人及其辩护人、诉讼代理人申请启动的，而检察机关作为公诉方，并不具备申请启动这一程序的权利。
辩方证据的质证方式：对于辩方提供的证据，检察机关可以通过举证、质证的方式在法庭调查中进行审查。如果认为辩方提供的证据存在非法性，可以在质证过程中提出，并建议法庭不予采信。这种方式既符合诉讼程序的要求，也体现了对辩方证据的合法性审查。
综上所述，检察机关可以申请排除辩方非法证据，但这一申请是通过质证方式在法庭调查中进行，而不是通过申请启动非法证据排除调查程序。如有进一步需要，您可以继续咨询我。