政府监护人和被监护人不可以共同立遗赠抚养协议。下面我将为您详细解释原因，并提供相关的法律依据。

一、遗赠扶养协议的定义与性质

遗赠扶养协议是指受扶养人（即遗赠人）与扶养人签订的，关于扶养人承担受扶养人生养死葬的义务，受扶养人将自己的财产于死后赠与扶养人的协议。这是一种特殊的遗产转移方式，旨在解决无法定扶养人或法定扶养人无扶养能力的人的生活保障问题。

二、遗赠扶养协议的签订主体

根据《中华人民共和国民法典》第一千一百五十八条的规定，自然人可以与继承人以外的组织或者个人签订遗赠扶养协议。这意味着，遗赠扶养协议的签订主体必须是自然人（即遗赠人）与继承人以外的组织或个人（即扶养人）。

三、政府监护人与被监护人的关系

政府监护人通常指的是在特定情况下，由政府或相关机构担任的未成年人或无民事行为能力、限制民事行为能力人的监护人。而被监护人则是这些需要监护的人。在遗赠扶养协议中，遗赠人必须是具有完全民事行为能力的自然人，而扶养人则必须是遗赠人法定继承人以外的个人或组织。

四、为何政府监护人和被监护人不能共同立遗赠抚养协议

1. 主体不适格：政府监护人并非自然人，而是政府机构或相关组织，不符合遗赠扶养协议中“自然人”的要求。
2. 法律关系不同：政府监护人与被监护人之间是基于监护关系而产生的法律关系，而遗赠扶养协议则是基于双方自愿、平等、有偿的民事法律关系。两者在性质、目的和效力上均存在显著差异。
3. 法律后果不同：遗赠扶养协议涉及财产的转移和继承问题，而政府监护人的职责主要是保护被监护人的合法权益，包括人身安全、财产管理等，并不涉及财产的转移或继承。

五、结论

综上所述，政府监护人和被监护人由于主体不适格、法律关系不同以及法律后果不同等原因，不能共同立遗赠抚养协议。如果您有关于遗赠扶养协议或其他法律问题的疑问，建议咨询专业律师或法律机构以获取更准确的法律意见。