当高速公司的员工劳动合同到期后，处理方式主要遵循《劳动合同法》及相关地方法规，如《江苏省劳动合同条例》等。以下是针对这一问题详细、清晰的解答：

一、合同到期后的基本处理原则

1. 合同自然终止：劳动合同期满，即表示双方约定的权利和义务已履行完毕，合同自然终止。此时，劳动者和用人单位都可以选择是否续签劳动合同。

2. 无提前通知义务：劳动合同到期时，如果合同中没有特别约定需要劳动者提前告知，劳动者就没有提前三十日通知用人单位的义务。

二、续签劳动合同的流程

1. 用人单位责任：用人单位应提前征询劳动者是否愿意续签劳动合同。如果劳动者同意续签，双方应在合同期满前或期满后尽快签订新的劳动合同。

2. 续签时限：根据《江苏省劳动合同条例》等规定，如果用人单位在劳动合同期满后继续留用劳动者但未及时续签书面劳动合同，应在一个月内与劳动者续订。超过一个月未续订的，可能面临支付二倍工资等法律责任。

三、不续签劳动合同的处理

1. 单位不续签：

   • 如果用人单位决定不续签劳动合同，应依法向劳动者支付经济补偿金。
   • 经济补偿金的标准通常按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。

2. 员工不续签：

   • 如果劳动者不愿续签劳动合同，且用人单位维持或提高了原劳动合同约定的条件，则用人单位无需支付经济补偿金。
   • 如果用人单位降低了原劳动合同约定的条件，而劳动者因此不愿续签，则用人单位仍需支付经济补偿金。

四、离职手续

• 无论哪方决定不续签劳动合同，劳动者都应按照用人单位的规定办理离职手续，包括工作交接、归还工作物品等。
• 如果用人单位拒绝办理离职手续或违反相关规定，劳动者可以向劳动部门申诉维权。

综上所述，高速公司员工劳动合同到期后的处理方式应遵循相关法律法规，确保双方权益得到妥善保障。用人单位应提前与劳动者沟通续签事宜，劳动者也应根据自己的意愿和用人单位的条件做出选择，并依法办理离职手续。