美发店开除员工时，赔偿问题需根据具体情况来判断。以下是对不同情形下赔偿规则的详细解析：
一、无需赔偿的情形
在员工存在以下任一过错的情况下，美发店有权解除劳动合同且无需支付任何赔偿或补偿：
- 试用期间被证明不符合录用条件；
- 严重违反美发店的规章制度；
- 严重失职、营私舞弊，给美发店造成重大损害；
- 与其他用人单位同时建立劳动关系，对完成美发店工作任务造成严重影响，或拒不改正；
- 以欺诈、胁迫手段或乘人之危，使美发店违背真实意思订立或变更劳动合同，导致合同无效；
- 被依法追究刑事责任。
二、需要支付经济补偿的情形
在以下情形下，美发店解除劳动合同时应向员工支付经济补偿：
协商解除：
- 双方协商一致解除劳动合同，美发店需支付经济补偿金。
无过失性辞退：
- 员工患病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由美发店另行安排的工作；
- 员工不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作；
- 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经美发店与员工协商，未能就变更劳动合同内容达成协议。
- 在这些情况下，美发店需提前三十日以书面形式通知员工或额外支付员工一个月工资后解除劳动合同，并支付经济补偿。
经济性裁员：
- 因美发店生产经营发生严重困难、转产、重大技术革新或经营方式调整等经济原因，需要裁减人员时，美发店需提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取工会或职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，可以裁减人员，并支付经济补偿。
合同期满终止：
- 固定期限劳动合同期满，美发店未维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而员工不同意续订的，美发店需支付经济补偿。
用人单位破产等情形：
- 若美发店被依法宣告破产、吊销营业执照、责令关闭、撤销或决定提前解散，导致劳动合同终止，美发店同样需支付经济补偿。
经济补偿的计算标准为：按员工在美发店工作的年限，每满一年支付一个月工资作为经济补偿。六个月以上不满一年的按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。若员工月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍，则经济补偿金的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。其中，月工资是指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
三、需要支付赔偿金的情形
若美发店违反《劳动合同法》的规定解除或终止劳动合同，如无正当理由随意辞退员工，则需按照上述经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。
四、处理建议
- 明确辞退原因：美发店在辞退员工时，应明确辞退原因，并确保辞退依据的合法性及合理性。
- 友好协商：员工可先与美发店进行友好协商，明确辞退原因及赔偿事宜。
- 法律途径：若协商不成，员工可向当地劳动监察部门投诉，或申请劳动仲裁以维护自身合法权益。
综上所述，美发店在开除员工时，应严格遵守相关法律法规，确保合法合规地处理劳动关系。同时，员工也应了解自己的权益和义务，在遭遇不当解雇时能够依法维护自己的合法权益。