当被雇佣的司机在驾驶过程中发生追尾事故，并且司机受伤时，处理这种情况需要遵循一定的法律程序和原则。以下是对此问题的详细解答：

首先，要明确的是，当司机在为雇主驾驶期间受伤时，其受伤的性质通常被视为工伤。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，个人之间形成劳务关系，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。

1. 责任判定：

   • 如果追尾事故是由于驾驶员操作不当导致的，且没有第三方责任，那么作为雇主，通常需要承担相关的赔偿义务。
   • 如果驾驶员在事故中存在故意或严重失察的行为，雇主在承担赔偿责任后，有权向驾驶员进行对等的追诉赔偿。
   • 如果事故是由于第三方的行为导致的，提供劳务的司机有权请求第三人承担侵权责任，同时也有权请求雇主给予补偿。雇主在补偿后，可以向第三人追偿。

2. 赔偿处理：

   • 受伤司机应立即就医，并保留所有相关的医疗记录和费用单据，以便后续赔偿。
   • 雇主或雇主代表（如保险公司）应与受伤司机协商赔偿事宜，包括医疗费用、误工费、伤残赔偿等。
   • 如果双方无法就赔偿达成一致，受伤司机可以通过法律途径寻求救济，比如向法院提起诉讼。

3. 法律建议：

   • 对于雇主来说，建议为雇佣的司机购买合适的保险，以减轻在发生意外时的经济负担。
   • 对于受伤司机来说，如果与雇主在赔偿问题上存在分歧，建议咨询专业的法律人士，以了解自己的权益和可能的法律途径。

综上所述，处理被雇佣司机追尾受伤的情况需要综合考虑事故责任、赔偿处理以及法律建议等多个方面。在实际操作中，建议双方保持沟通，并寻求专业的法律支持，以确保问题得到妥善解决。