首先，需要明确的是，遗嘱的签署和笔迹鉴定是涉及法律效力和继承权的重要事项，必须严格按照法律规定进行。

核心结论：在父母共同立遗嘱的情况下，如果只有父亲一个人的签字，那么这份遗嘱在法律上可能是存在瑕疵的，除非能证明母亲也同意该遗嘱的内容并且以其他方式（如口头、录音、视频等）表达了她的意愿。对于笔迹的鉴定，需要由专业的笔迹鉴定机构或专家进行，以确保鉴定结果的准确性和权威性。

1. 遗嘱的签署：

   • 根据法律规定，遗嘱通常需要由遗嘱人亲自签署，并且需要注明签署的日期。如果遗嘱是父母共同立下的，那么理应有父母双方的签字。
   • 如果只有父亲一个人的签字，那么需要考察母亲是否知晓并同意该遗嘱的内容。如果母亲并未签字且未以其他方式表达同意，那么这份遗嘱在母亲去世后可能无法完全按照父亲的意思执行。

2. 笔迹的鉴定：

   • 笔迹鉴定是一项专业的技术活动，需要由具有相关资质和经验的机构或专家进行。
   • 鉴定的过程通常包括收集遗嘱人的笔迹样本、对遗嘱上的笔迹进行比对分析、出具鉴定报告等步骤。
   • 鉴定结果将作为判断遗嘱真实性的重要依据之一。如果鉴定结果显示遗嘱上的笔迹确实为父亲所留，且遗嘱内容符合法律规定，那么这份遗嘱在父亲去世后可能具有法律效力。

3. 法律建议：

   • 如果父母希望共同立下遗嘱并确保其法律效力，建议最好由双方共同签字并注明签署日期。
   • 如果存在特殊情况导致只有一方签字，建议尽快咨询专业律师，了解相关的法律风险和应对措施。
   • 对于笔迹鉴定，建议选择具有权威性和公信力的机构或专家进行，以确保鉴定结果的准确性和可靠性。

总之，遗嘱的签署和笔迹鉴定都是涉及法律效力和继承权的重要事项，必须谨慎对待。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。