银行员工串户将存款人的姓名错误登记为遗产时，应依据相关法律法规进行纠正和处理。以下是我对此问题的详细分析：

一. 存款归属与代理责任

1. 存款归属：根据《民法典》的相关规定，存款仍属于已故存款人，代理人只是代为存入，不享有该存款的所有权。银行只认存款人，不认被代理人，除非有明确的委托协议或授权文件，否则被代理人无法取款。

2. 代理责任：若代理人存款时使用的是自己的名字或共同账户，情况则会复杂化，可能引发财产归属争议。代理人无权擅自支取或分配该存款，否则可能涉及侵占、非法占有等法律风险。

二. 银行处理与继承人取款

1. 银行处理：在发现存款人姓名错误登记为遗产时，银行应立即核实情况，并与存款人的继承人或合法权利人进行沟通，确保存款的正确归属。

2. 继承人取款：继承人需要向银行提交以下材料以证明自己的身份和继承权：

   • 存款人死亡证明（医院或公安机关开具）
   • 继承人身份材料（户口本、身份证）
   • 存款人的存单、存折或银行卡
   • 公证机构出具的继承权公证书（证明继承人关系）

如果继承人之间无争议，可以直接向银行申请取款。若继承人较多或有争议，银行通常会要求办理继承权公证，以确认继承份额。

三. 错误登记的纠正

1. 核实情况：银行应首先核实存款人的真实身份和存款情况，确保存款的正确归属。

2. 纠正错误：在核实情况后，银行应立即纠正存款人姓名的错误登记，恢复存款人的真实身份和存款信息。

3. 通知相关方：银行应通知存款人的继承人或合法权利人，告知存款的正确归属和取款流程。

四. 建议与预防措施

1. 签订书面委托协议：存款人应与代理人签订书面委托协议，明确存款金额、归属及代理人责任，以避免后续纠纷。

2. 使用存款人名字存款：存款时尽量使用存款人的名字，而非代理人个人账户，以避免财产混同和归属争议。

3. 提前立遗嘱：存款人可提前立遗嘱，明确该存款的继承安排，减少后续纠纷。

综上所述，当银行员工串户将存款人的姓名错误登记为遗产时，应依据相关法律法规进行纠正和处理。银行应核实情况、纠正错误、通知相关方，并确保存款的正确归属。同时，存款人和代理人也应采取必要的预防措施，以避免后续纠纷的发生。如有进一步需要，您可以继续咨询我。