试用期员工公司可以开除，但必须满足法定条件并严格遵循法定程序。以下是对此结论的详细阐述：
可以合法开除的情形
不符合录用条件：
- 用人单位在招聘时需明确具体的录用条件，如专业技能、学历要求、工作经验等，并让员工知晓。
- 试用期内，若员工未能满足这些条件，且用人单位有充分的证据证明，则可解除劳动合同。例如，若公司招聘的软件开发工程师在试用期内无法完成基本编程任务，经考核确认后，公司可依法开除。
严重违反用人单位规章制度：
- 规章制度需合法、合理，经民主程序制定，并向员工公示或告知。
- 若员工严重违反规章制度，如无故旷工、严重失职、营私舞弊等，且给用人单位造成重大损害，用人单位可解除劳动合同。例如，公司规定一个月内累计旷工3天以上属严重违纪，员工若达到此标准，公司可依法开除。
其他法定情形：
- 员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响，或经用人单位提出拒不改正。
- 员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危使用人单位违背真实意思订立或变更劳动合同，导致合同无效。
- 员工被依法追究刑事责任。
需注意的程序要求
- 事先通知工会：用人单位在解除劳动合同前，应事先将理由通知工会。若用人单位尚未建立工会组织，也应通过适当方式向当地总工会或行业工会等进行告知。
- 书面通知员工：用人单位决定开除员工时，必须向员工送达书面的解除劳动合同通知，明确解除劳动合同的原因、依据、具体日期及后续事宜。
法律后果
- 若用人单位开除员工不符合法定条件或未履行法定程序，则属于违法解除劳动合同。
- 员工有权要求用人单位继续履行劳动合同，或要求用人单位支付赔偿金。赔偿金标准为经济补偿标准的二倍，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算（不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿）。
综上所述，试用期员工公司可以开除，但必须确保开除行为符合法律规定的条件和程序。若有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。