对于餐饮烧烤店制作现场脏乱、乱排污水的问题，这是一个严重的环境卫生和食品安全问题，需要得到及时有效的处理。以下是对此问题的详细解答：
一、处理部门及职责
针对餐饮烧烤店乱排污水的问题，多个政府部门有权并会介入处理：
环保监察部门（环保局）：
- 负责对排放污染物的单位进行现场检查，要求如实反映情况。
- 对乱排污水的餐饮店，会进行立案查处，并责令限期整改。
- 若整改不达标或未能在限期内完成整改，将面临罚款等更严厉的处罚。
城镇排水主管部门（如住建局下属部门）：
- 负责城镇排水设施的建设、维护和管理，并监管向城镇排水设施排放污水的行为。
- 对于未取得污水排入排水管网许可证或违反污水排放规定的餐饮店，会责令停止违法行为，限期采取治理措施，并可能处以罚款。
- 若造成严重后果，餐饮店还需承担赔偿责任。
城市管理部门（城管局）：
- 负责城市管理综合执法工作，查处影响城市市容环境卫生的违法违规行为。
- 会对乱排污水的餐饮店下达整改通知书，并要求限期整改。
- 拒不整改的，可依法进行处罚，包括罚款、暂扣或吊销相关许可证等。
卫生健康部门（卫生局）：
- 负责食品卫生安全的监督管理工作，监管餐饮行业的卫生状况。
- 会对餐饮店的经营场所进行检查，对不符合卫生要求的行为提出整改意见。
- 若乱排污水导致食品卫生安全问题，可依法吊销其食品经营许可证，甚至进行更严厉的处罚。
二、处理流程
发现与举报：
- 消费者、市民或相关部门在发现餐饮烧烤店存在脏乱、乱排污水等问题时，应及时向相关部门进行举报。
现场检查：
- 接到举报后，相关部门会迅速组织人员前往现场进行检查，核实情况。
立案查处：
- 若情况属实，相关部门会依法对餐饮烧烤店进行立案查处，并责令其限期整改。
处罚与执行：
- 根据整改情况和违法行为的严重程度，相关部门会依法对餐饮烧烤店进行处罚，如罚款、吊销许可证等。
- 同时，会监督餐饮烧烤店执行处罚决定，确保其整改到位。
三、消费者投诉途径
消费者若发现餐饮烧烤店存在脏乱、乱排污水等违法行为，可通过以下途径进行投诉和维权：
- 向环保监察部门、城镇排水主管部门、城市管理部门或卫生健康部门举报投诉。
- 向工商行政管理部门或市场监督管理部门投诉。
- 请求消费者协会或依法成立的其他调解组织调解。
- 根据与经营者达成的仲裁协议提请仲裁机构仲裁。
- 向人民法院提起诉讼。
综上所述，对于餐饮烧烤店制作现场脏乱、乱排污水的问题，多个政府部门会共同处理，并依法进行处罚。同时，消费者也应积极行使监督权，通过合法途径维护自身权益和环境安全。