面对打架导致对方轻微伤但对方不同意和解且不出院的情况，我们可以从以下几个角度来处理：

一、明确法律责任

首先，无论对方是否同意和解，你都需要明确自己的法律责任。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条，殴打他人或故意伤害他人身体的，可能会面临五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款的处罚。同时，你还可能需要承担对方的医疗费用、误工费等民事赔偿责任。

二、了解伤情与医疗实际情况

1. 与医院沟通：及时联系对方就诊的医院，了解对方的真实病情、治疗进展及是否已达到出院标准。请求医院出具相关证明材料，如诊断证明，明确写明治愈情况或是否达到出院条件。
2. 保留医疗证据：收集并妥善保存所有相关的医疗记录，这些证据将作为后续处理的重要依据。

三、尝试协商与调解

1. 主动沟通：尝试与对方进行心平气和的沟通，表达你的关切，并指出已了解其实际身体状况。建议对方按照医生建议合理安排出院，避免不必要的医疗费用支出。
2. 第三方调解：若直接沟通效果不佳，可寻求中立第三方的帮助，如公安机关或人民调解委员会进行调解。

四、法律途径应对

1. 停止支付不合理费用：对于对方故意拖延住院产生的不合理费用，你有权拒绝支付。明确告知对方及医院，只承担合理的、与本次伤害直接相关的医疗费用。
2. 提起诉讼：若协商无果且对方持续提出不合理要求，你可以向人民法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，申请法院委托专业的司法鉴定机构对对方的伤情、治疗的合理性与必要性进行鉴定。法院将依据鉴定结果和实际情况判定赔偿责任范围。

五、注意事项

1. 保持冷静与理智：在整个处理过程中，保持冷静和理智至关重要，避免情绪化行为导致问题进一步恶化。
2. 法律咨询：如有需要，你可以随时向我咨询，我将为你提供专业的法律建议和支持。

综上所述，面对这种情况，你应首先明确自己的法律责任，然后通过与医院沟通、尝试协商调解以及法律途径应对等方式来处理。在整个过程中，保持冷静和理智，并随时向我咨询以获取专业的法律支持。