仲裁机构不能自行重新仲裁。仲裁实行的是一裁终局制度，仲裁决定作出之后，就产生了相应的法律效力。当事人对同一个纠纷再申请仲裁或者去法院起诉，都是不会被受理的。不过，在特定且严格限定的情形下，仲裁裁决有可能被重新考量或修正，但这通常需要遵循相关法律规定及仲裁规则，并确保程序的正当性。

具体来说，重新仲裁的启动需要满足以下条件：

1. 一方当事人申请撤裁：首先，必须有一方当事人对原仲裁裁决提出撤销申请。
2. 法院通知重新仲裁：在收到撤销申请后，法院经审查认为可以由仲裁庭重新仲裁的，会通知仲裁庭在一定期限内重新仲裁，并裁定中止撤销程序。
3. 仲裁庭同意启动重新仲裁：仲裁庭在收到法院的通知后，需要同意启动重新仲裁程序。

值得注意的是，重新仲裁虽然有仲裁之名，但实为司法审查的一种方式。它旨在由法院授权仲裁庭自行针对仲裁过程中的瑕疵进行弥补，以符合支持仲裁的司法政策。然而，在实践中，由于《仲裁法》未能明确重新仲裁的具体指引，导致不同裁判间在适用上述规定时可能存在冲突。

综上所述，仲裁机构不能自行决定重新仲裁，而需要在严格限定的情形下，并遵循相关法律规定及仲裁规则，才能启动重新仲裁程序。如果你对此有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。