医生离职后，老板继续以该医生名义挂牌经营的行为可能构成虚假宣传或侵犯医生名誉权，应依法承担相应责任。针对这一问题，我们可以从以下几个方面进行分析：

一. 虚假宣传的法律责任

1. 法律依据：根据《中华人民共和国反不正当竞争法》第八条，经营者不得对其商品的性能、功能、质量、销售状况、用户评价、曾获荣誉等作虚假或者引人误解的商业宣传，欺骗、误导消费者。医生离职后，诊所老板继续以该医生名义挂牌，可能误导患者认为该医生仍在诊所工作，从而构成虚假宣传。
2. 法律责任：如构成虚假宣传，诊所老板可能面临行政处罚，如罚款、吊销营业执照等，并需承担对因此受到损害的患者进行赔偿的责任。

二. 侵犯名誉权的法律责任

1. 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千零二十四条，民事主体享有名誉权。任何组织或者个人不得以侮辱、诽谤等方式侵害他人的名誉权。诊所老板在医生离职后继续以该医生名义挂牌，可能损害医生的名誉，使其受到不公正的负面评价。
2. 法律责任：如构成侵犯名誉权，诊所老板需承担停止侵害、消除影响、赔礼道歉等民事责任，并可能面临赔偿医生因此遭受的经济损失和精神损害的责任。

三. 建议措施

1. 与诊所老板沟通：首先尝试与诊所老板进行沟通，要求其立即停止以该医生名义挂牌的行为，并拆除相关招牌或宣传材料。
2. 向相关部门举报：如沟通无果，可向市场监管部门或卫生健康行政部门举报诊所老板的违法行为，要求其依法查处。
3. 寻求法律救济：如诊所老板的行为对医生造成了实际损害，医生可依法向法院提起诉讼，要求诊所老板承担相应的法律责任。

综上所述，医生离职后老板继续以该医生名义挂牌经营的行为可能构成虚假宣传或侵犯医生名誉权。我建议医生采取上述措施维护自己的合法权益，并如有进一步需要，您可以继续咨询我。