公司与员工解除劳动关系的情况主要分为协商解除、法定解除以及经济性裁员三大类。以下是具体解释：
协商解除：
- 公司和员工在平等自愿的基础上，经过协商一致，可以解除劳动合同。这种情况下，双方会签订书面解除协议，明确解除的原因、日期以及经济补偿等关键事项。公司需按规定支付经济补偿，具体标准按员工在本单位工作的年限来计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则支付半个月工资的经济补偿。
法定解除：
- 因员工过错解除：如果员工严重违反公司规章制度、严重失职营私舞弊给公司造成重大损害，或者被依法追究刑事责任等，公司有权单方解除劳动合同，且无需支付经济补偿。但前提是公司的规章制度需合法、合理，且经过民主程序制定并向员工公示，同时要有充分证据证明员工的过错。
- 非过错性解除：员工患病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事公司另行安排的工作；或者员工不能胜任工作，经过培训或调整岗位后仍不能胜任；又或者劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，无法履行且未能就变更合同达成协议等，公司可以提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资作为代通知金，然后解除劳动合同。经济补偿标准与协商解除相同。
经济性裁员：
- 当公司因经营状况严重困难、转产、重大技术革新或经营方式调整等客观原因，需要裁减人员以改善经营状况时，可以进行经济性裁员。公司应提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取意见后，将裁减方案向劳动行政部门报告。经济补偿标准也按员工在本单位工作的年限来计算，与协商解除和非过错性解除相同。
在处理解除劳动关系的事务中，公司必须严格遵守相关法律法规，确保双方权益得到妥善保护。如果公司违法解除劳动合同，员工可以要求公司继续履行劳动合同；若不要求继续履行或合同已无法履行，公司需按经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。如果您在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。