警察在吃饭时遇到斗殴事件，其核心职责是维护公共秩序和保护公民安全。以下是我根据多领域法律实务经验，对警察在此情境下应如何处理的详细解答：

1. 立即响应并评估情况：

   • 警察应首先确保自身安全，迅速但冷静地评估斗殴的规模和危险性。
   • 判断是否需要立即采取行动，以及是否需要增援。

2. 制止斗殴行为：

   • 警察应使用适当的执法手段，如语言命令、身体力量或警械，以迅速而有效地制止斗殴。
   • 在制止过程中，应确保对斗殴双方保持公正，避免过度使用武力或偏袒任何一方。

3. 分离斗殴双方并控制现场：

   • 一旦斗殴被制止，警察应立即将斗殴双方分开，防止他们再次发生冲突。
   • 同时，控制现场秩序，确保其他人员不受伤害，并保护现场证据不被破坏。

4. 调查与取证：

   • 警察应对斗殴事件进行详细调查，包括询问目击者、收集物证和监控录像等。
   • 记录斗殴双方的身份信息、伤情情况以及斗殴的具体经过。

5. 依法处理：

   • 根据调查结果，警察应依法对斗殴双方进行处理。这可能包括行政拘留、罚款或移送司法机关进一步处理等。
   • 对于受伤人员，警察应协助其寻求医疗救助，并告知其相关法律权益。

6. 后续跟进与报告：

   • 警察应跟进斗殴事件的处理情况，确保所有法律程序得到妥善执行。
   • 向上级部门或相关机构报告事件处理结果，以便进行后续分析和改进。

综上所述，警察在吃饭时遇到斗殴事件，应迅速响应、制止斗殴、控制现场、调查取证、依法处理，并跟进报告。这些步骤旨在维护公共秩序、保护公民安全，并确保法律得到公正执行。如果你对警察处理斗殴事件的具体法律条款或程序有疑问，可以直接向我咨询。