公安局抓获犯罪嫌疑人后，若决定对其进行羁押，会有一个37天的关键处理期限。这37天实际上是公安机关提请检察院审查批准逮捕的最长时间与检察院审查决定时间之和。以下是这37天后可能发生的处理流程及后续走向的详细解释：
一、37天内的处理流程
前30天：
- 侦查与收集证据：公安机关负责侦查案件，收集与犯罪有关的证据。
- 评估逮捕必要性：若公安机关认为有证据证明犯罪嫌疑人实施了犯罪，且可能判处徒刑以上刑罚，同时采取取保候审等措施不足以防止发生社会危险性，则会提请检察院批准逮捕。
后7天：
- 检察院审查：检察院对公安机关提请批准逮捕的案件进行审查，判断是否符合逮捕条件。
- 决定逮捕与否：若检察院认为符合逮捕条件，会批准逮捕，犯罪嫌疑人继续被羁押；若认为不符合，如证据不足等，会作出不批准逮捕决定。
二、37天后的可能走向
检察院批准逮捕：
- 继续羁押：犯罪嫌疑人会被继续羁押在看守所。
- 后续流程：案件进入侦查羁押、审查起诉、审判等阶段。最终，法院会根据审理认定的事实和证据，对犯罪嫌疑人作出有罪或无罪、量刑等判决。
检察院不批准逮捕：
- 立即释放或变更强制措施：公安机关应在接到不批准逮捕通知后立即释放犯罪嫌疑人，或者根据案件情况变更为取保候审、监视居住等强制措施。
- 后续侦查：对于需要继续侦查的案件，公安机关会依法进行后续侦查工作。
三、犯罪嫌疑人的权益保障
在整个处理过程中，犯罪嫌疑人享有一定的权益保障：
- 委托辩护人：在审查起诉阶段，犯罪嫌疑人有权委托辩护人，辩护人可依法为其提供法律帮助、辩护等。
- 申诉与控告：若犯罪嫌疑人认为自己的合法权益受到侵犯，有权向相关部门提出申诉或控告。
综上所述，公安局抓获犯罪嫌疑人后37天的处理流程是一个关键节点。这37天内，公安机关会进行侦查与收集证据，并提请检察院审查批准逮捕。37天后，根据检察院的决定，犯罪嫌疑人可能会被继续羁押并进入后续司法流程，或者被释放或变更强制措施。在整个过程中，犯罪嫌疑人的合法权益应得到充分保障。