当犯罪嫌疑人被拘留37天后，其后续处理方式主要取决于案件的具体情况、证据收集进展以及犯罪嫌疑人的社会危险性。以下是根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关法律规定，对拘留37天后可能处理情况的详细解答：
一、批准逮捕并继续羁押
条件：
- 若公安机关认为犯罪嫌疑人需要逮捕，会向人民检察院提请审查批准。
- 检察院在接到提请批准逮捕书后的7日内，会作出决定。若认为有证据证明犯罪嫌疑人存在犯罪事实，且可能判处徒刑以上刑罚，同时采取取保候审等措施尚不足以防止发生社会危险性（如可能实施新的犯罪、对国家安全或社会秩序构成现实危险等），则应当批准逮捕。
后续程序：
- 逮捕后，案件将进入侦查阶段，侦查期限一般不得超过二个月，复杂案件可经上级检察院批准延长。
- 侦查终结后，案件将移送至人民检察院审查起诉。
- 检察院将对案件进行全面审查，并决定是否向人民法院提起公诉。
- 若提起公诉，法院将进行审判，以确定犯罪嫌疑人的罪名及应承担的刑罚。
二、不批准逮捕及释放
不批准逮捕：
- 若检察院经审查认为不符合逮捕条件（如证据不足或犯罪情节轻微），将作出不批准逮捕的决定。
释放情况：
- 立即释放：公安机关在接到不批准逮捕通知后，应立即释放犯罪嫌疑人，并发给释放证明。
- 无罪释放：若经侦查发现犯罪嫌疑人没有犯罪事实或依法不应追究刑事责任，也应立即释放，并发给释放证明。
- 释放并处行政拘留：对于犯罪情节轻微，不需追究刑事责任但需追究行政责任的，可在释放时同时处以行政拘留（该行政拘留可折抵相应期限）。
三、变更强制措施为取保候审或监视居住
条件：
- 若证据不足以证明犯罪嫌疑人有犯罪事实，或其犯罪情节轻微不需要逮捕，但案件仍需进一步侦查时，公安机关可以变更强制措施为取保候审或监视居住。
后续要求：
- 取保候审或监视居住期间，犯罪嫌疑人需遵守相应规定，如未经批准不得离开居住地、保持联系方式畅通等。
- 案件仍在侦查中，侦查完毕后将根据结果作进一步处理。
四、超期羁押的处理
- 若犯罪嫌疑人在拘留37天后既未得到检察院批准逮捕的决定，也未被释放或变更强制措施，则属于超期羁押。
- 此时，犯罪嫌疑人及其法定代理人、近亲属或委托的律师有权要求解除强制措施并释放犯罪嫌疑人。
- 公安机关、人民检察院应及时处理，对被超期羁押的犯罪嫌疑人予以释放或依法变更强制措施。
五、法律保障与权利
- 刑事拘留仅为刑事诉讼程序中的强制措施，旨在保证诉讼顺利进行，而非对犯罪嫌疑人进行惩罚。拘留期限最长为37天，超过此期限应解除强制措施并释放被拘留人。
- 若公安机关继续关押，犯罪嫌疑人有权要求国家赔偿或进行申诉。
- 犯罪嫌疑人在拘留期间有权委托律师提供法律援助并进行辩护。律师可向办案机关询问案件进展情况并提交法律建言。
- 犯罪嫌疑人家属应保持冷静，并积极协助司法机关完成相关事务。
综上所述，拘留37天后，公安机关和检察院会根据案件的具体情况和证据收集情况，依法对犯罪嫌疑人作出逮捕、释放、变更强制措施等处理决定。这些决定旨在确保案件的公正、公平处理，同时保障犯罪嫌疑人的合法权益。