公司可以辞退员工的情形主要分为过错性辞退、非过错性辞退以及经济性裁员三类。以下是详细的解释：
一、过错性辞退
在劳动者存在过错的情况下，公司有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。具体包括以下几种情形：
试用期间不符合录用条件：如果员工在试用期内被证明不符合录用条件，如招聘时要求的特定技能或工作能力不达标，公司可以辞退该员工。
严重违反规章制度：员工如果严重违反了公司的规章制度，如多次旷工、迟到早退严重，或者违反公司保密制度等，公司可以合法辞退。
严重失职、营私舞弊：员工因严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害，如财务人员因疏忽导致公司资金损失，或销售人员收受回扣损害公司利益，公司可以辞退该员工。
与其他用人单位建立劳动关系：如果员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经公司提出后拒不改正，公司可以辞退该员工。
劳动合同无效：员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，如提供虚假学历证书入职，公司可以辞退该员工。
被依法追究刑事责任：员工因犯罪被判刑，公司可以辞退该员工。
二、非过错性辞退
在以下情况下，公司提前三十日以书面形式通知员工本人或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同，但需支付经济补偿：
患病或非因工负伤：员工患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作。
不能胜任工作：员工不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作。
客观情况发生重大变化：劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经公司与员工协商，未能就变更劳动合同内容达成协议。
三、经济性裁员
在以下情形下，公司需裁减人员二十人以上或裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，应提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取意见后，向劳动行政部门报告裁减人员方案，并可支付经济补偿进行裁员：
企业破产法重整：公司依照企业破产法进行重整。
生产经营严重困难：公司面临生产经营上的严重困境。
转产、技术革新或经营方式调整：公司转产、重大技术革新或者经营方式调整，经变更劳动合同后，仍需裁减人员。
其他客观经济情况变化：因其他客观经济情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行。
在进行经济性裁员时，公司应优先留用与本单位订立较长期限固定期限劳动合同的人员、订立无固定期限劳动合同的人员以及家庭无其他就业人员，有需要扶养的老人或未成年人的人员。
总之，公司在辞退员工时，必须严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，确保辞退行为合法合规。无论是过错性辞退、非过错性辞退还是经济性裁员，都应有明确的法律依据和操作流程，以保障双方的合法权益。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。