当私家教练车在公路上发生事故时，处理方式需要遵循一般的交通事故处理流程，同时考虑到教练车的特殊性，还需注意一些额外的要点。以下是一个清晰、详细且有深度的解答：
一、立即停车并保护现场
- 确保安全：首先，确保所有涉事人员的人身安全，远离事故车辆，避免二次事故。
- 开启警示灯：立即开启车辆的危险报警闪光灯，以警示其他车辆。
- 设置警告标志：如果可能，应在车后方设置三角警告标志，提醒后方来车注意。
二、报警并通知保险公司
- 报警：立即拨打当地的交通事故报警电话（如122），报告事故情况，包括事故发生的时间、地点、涉事车辆及人员伤亡情况。
- 通知保险公司：如果教练车已投保，应尽快通知保险公司，以便其进行后续理赔处理。
三、协助伤员救治
- 初步救治：在等待救援人员到来的同时，如果条件允许，可以对伤员进行初步的救治，如止血、包扎等。
- 保持伤员稳定：尽量让伤员保持平静，避免过度移动，以免加重伤势。
四、收集证据并等待处理
- 收集证据：如果可能，使用手机或相机拍照记录事故现场，包括车辆位置、损坏情况、伤员状况及周围环境等。同时，记下目击者的联系方式，以便后续调查。
- 等待交警处理：交警到达现场后，会进行事故调查，包括询问涉事人员、勘查现场、记录事故情况等。此时，应如实陈述事故经过，不得隐瞒或歪曲事实。
五、特殊处理事项（针对教练车）
- 教练责任：根据相关法律法规，学员在学习驾驶过程中发生交通事故的，由教练员承担责任。因此，教练员应积极配合交警调查，承担相应责任。
- 驾校责任：驾校作为教练车的所有者和管理者，也有义务对事故进行妥善处理。如果事故是由于驾校管理不善或教练教学不当导致的，驾校也应承担相应责任。
六、后续处理
- 理赔：根据保险公司要求，提交相关理赔材料，如事故认定书、医疗费用发票、车辆维修费用清单等。
- 法律责任：如果事故涉及法律责任，如赔偿纠纷等，可以寻求法律援助或通过诉讼途径解决。
综上所述，私家教练车在公路上发生事故时，应首先确保安全、报警并通知保险公司、协助伤员救治、收集证据并等待处理。同时，考虑到教练车的特殊性，还需注意教练和驾校的责任问题。在整个处理过程中，应保持冷静、配合调查、积极解决问题。