当公交车与私家车发生剐蹭，导致公交车上的乘客受伤时，乘客可以按照以下步骤处理：

一、确保安全与报警

1. 确保自身安全：首先，乘客应确保自己的安全，避免在事故现场受到进一步的伤害。
2. 报警并等待处理：立即拨打报警电话，通知交警前来处理事故。同时，保持现场秩序，等待交警和救援人员的到来。

二、寻求医疗救助

1. 检查伤势：如果受伤，乘客应初步检查自己的伤势，判断是否需要紧急医疗救助。
2. 前往医院：根据伤势情况，乘客可以选择自行前往医院或等待救援人员送往医院。如果伤势严重，建议立即寻求专业医疗救助。

三、记录事故信息

1. 收集证据：如果条件允许，乘客可以拍摄事故现场的照片或视频，记录事故发生的具体情况，包括车辆位置、损坏情况等。
2. 记录联系方式：记下私家车司机的联系方式以及公交车的车牌号、运营公司等基本信息，以便后续联系和索赔。

四、向公交公司索赔

1. 联系公交公司：在事故发生后，乘客应尽快联系公交公司，告知其受伤情况，并提出索赔要求。
2. 提供证明材料：根据公交公司的要求，乘客需要提供相关证明材料，如医疗费用发票、诊断证明、事故认定书等。
3. 协商赔偿：公交公司会根据事故情况和乘客的受伤程度，与乘客协商赔偿事宜。如果双方无法达成一致，乘客可以选择通过法律途径解决纠纷。

五、法律依据

根据《民法典》第八百二十三条的规定，承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任。但是，如果伤亡是旅客自身健康原因造成的，或者承运人能够证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的，承运人可以免责。因此，在索赔过程中，乘客需要确保自己的伤势与事故有直接关系，并尽可能提供充分的证据来支持自己的索赔要求。

综上所述，当公交车与私家车发生剐蹭导致乘客受伤时，乘客应首先确保自己的安全并报警等待处理；随后寻求医疗救助并记录事故信息；最后向公交公司提出索赔要求并提供相关证明材料。在整个过程中，乘客应保持冷静、理性处理，并依法维护自己的合法权益。