当外地车在地下车库刮蹭到本地车时，赔偿流程可以遵循以下几个步骤来妥善处理：

一、立即停车并检查

1. 停车并保持冷静：发现刮蹭后，应立即停车，切勿选择逃逸，以免加重法律责任。
2. 详细记录受损情况：仔细检查双方车辆的刮擦位置、范围、程度，并拍摄清晰的照片或视频作为证据。同时，留意周围是否有监控设备，记录监控摄像头的位置，以便后续调用监控录像。

二、寻找并联系车主

1. 车上寻找联系方式：首先尝试在车上寻找车主留下的联系方式，如电话号码、微信二维码等，以便及时与车主取得联系。
2. 通过物业协助：若车上没有联系方式，可以联系地下车库的物业管理人员，通过他们获取车主的信息，并及时与车主沟通。
3. 留下自己的联系方式：如果无法立即联系到车主，应在对方车辆的显眼位置（如挡风玻璃处）留下自己的联系方式（包括姓名、电话等）和简短说明，以便车主后续联系。

三、与车主协商赔偿

1. 诚恳道歉：向车主表达诚挚的歉意，展现负责任的态度。
2. 协商赔偿方案：与车主就赔偿方式（如现金赔偿、保险理赔等）和赔偿金额进行协商，并达成一致意见。在协商过程中，要保持冷静和理性，避免争吵或冲突。

四、通知保险公司

1. 及时报案：根据保险合同的规定，在事故发生后的规定时间内（通常是24小时或48小时内）向保险公司报案。
2. 准确描述事故：向保险公司客服详细准确地描述事故发生的时间、地点、经过以及双方车辆的受损情况。

五、配合调查与处理

1. 交警介入：如果事故较为严重或责任存在争议，应立即拨打报警电话，通知交警到场处理。交警将勘查现场并确定事故责任。
2. 保险公司定损：保险公司会安排定损员对受损车辆进行定损，确定维修方案和赔偿金额。在此过程中，应按要求提供相关证件和资料，配合定损工作。

六、完成赔偿与维修

1. 履行赔偿义务：根据协商结果或保险公司的理赔决定，及时完成对对方车辆损失的赔偿。
2. 安排车辆维修：选择正规的维修厂进行维修，确保维修质量。同时，可与维修厂保持沟通，了解维修进度。

七、法律支持与争议解决

1. 寻求法律援助：如果与车主无法达成一致意见，可以考虑寻求法律援助，了解自身的权益和法律责任。
2. 诉讼途径：在必要时，可以通过诉讼途径来解决争议。为此，应准备好相关证据（如事故现场照片、监控录像、维修费用凭证等）并向法院提起诉讼，要求对方承担赔偿责任。法院将根据实际情况判断责任归属并作出相应判决。

综上所述，处理外地车在地下车库刮蹭本地车的赔偿问题时，应保持诚实负责的态度，及时采取措施并与相关方进行沟通。通过遵循上述步骤，可以更有效地解决问题并减少不必要的麻烦和纠纷。