针对你提出的问题“没签认罪认罚书，法庭上认罪认罚被轻判，上诉时检察院应该抗诉吗”，以下是我的详细分析：
结论前置：
在认罪认罚案件中，被告人上诉后，检察院是否会提起抗诉，并非仅取决于被告人是否签署了认罪认罚书，而是需要根据具体情况综合判断。若上诉无合理理由或新证据支持，且一审判决在事实认定、法律适用及量刑上均无误，检察院可能会抗诉以维护司法公正和认罪认罚具结书的严肃性；反之，若有合理理由或新证据，检察院抗诉的可能性则较低。
分析说明：
认罪认罚与抗诉的关系：
- 认罪认罚是被告人与检察院之间达成的一种契约，旨在通过被告人的认罪态度来换取较轻的刑罚。但这并不意味着一旦认罪认罚，检察院就绝对不会抗诉。
- 检察院抗诉的核心在于判决是否存在实质性错误，如事实认定有误、适用法律错误或量刑不当等。
可能抗诉的情形：
- 如果被告人通过认罪认罚获得较轻量刑后，又无端反悔上诉，试图再次获取更轻刑罚，这种行为可能被视为违背了认罪认罚具结书的契约精神，检察院可能会提起抗诉。
- 若检察院认为被告人上诉是出于恶意规避法律规定、逃避应有的处罚，如为了拖延执行刑罚、干扰司法程序等，也可能会考虑提起抗诉。
可能不抗诉的情形：
- 当被告人有合理的上诉理由时，如发现了新的证据，该证据可能影响案件事实认定或定罪量刑，检察院可能会综合考量后决定不抗诉。
- 如果一审判决在事实认定、法律适用及量刑上均存在明显错误，且被告人的上诉请求有合理依据，检察院抗诉的可能性也会相对较低。
特殊情况的考量：
- 在某些特殊情况下，即使被告人未签署认罪认罚书，但如果一审判决在法律规定及事实认定方面均无误，检察院通常也不会仅仅因为被告人未签认罪认罚而提起抗诉。
总结：
综上所述，没签认罪认罚书，法庭上认罪认罚被轻判后上诉，检察院是否会抗诉，是一个需要综合考虑多种因素的问题。关键在于被告人的上诉理由是否合理、是否存在新证据以及一审判决是否存在错误。因此，被告人在考虑上诉时，应充分评估自己的上诉理由和证据情况，以避免不必要的法律风险。如有进一步疑问或需要法律帮助，请直接向我咨询。