针对“私下签协议是否可以用公章”这一问题，首先我们要明确公章的法律效力和使用规范。
公章是公司或组织对外活动的重要代表，具有法律效力。通常，公司签署合同或重要文件时，必须加盖公章以确认其正式性和合法性。然而，公章的使用并不是随意的，而应遵循一定的规范和管理制度。
私下签协议使用公章，需要特别谨慎。如果协议双方都是公司或组织，并且协议内容合法、有效，那么使用公章是可以的。但在此之前，应确保双方都有明确的授权和代表权，以避免后续的法律纠纷。
另一方面，如果公章被私下借用或盗用，用于签订未经公司或组织授权的协议，那么这种行为是违法的。在这种情况下，公司或组织可能需要对因此产生的法律后果承担责任，尤其是当第三方是善意且不知情的情况下。
从您提供的参考信息中，我们可以看到两个因公章管理不当而引发的法律纠纷案例。这些案例都强调了公章管理的重要性，以及不当使用公章可能带来的法律风险。
因此，对于私下签协议是否可以用公章的问题，建议遵循以下原则：
明确授权：在使用公章之前，应确保有明确的授权和代表权。如果是代表公司或组织签订协议，应确保得到了相应的授权和批准。
合法合规：协议内容应合法、有效，并符合相关法律法规的规定。不得使用公章签订违法或无效的协议。
规范管理：公章应实行专人专管、规范使用的制度。避免公章被随意借出或滥用，以确保其安全性和合法性。
综上所述，私下签协议使用公章需要谨慎对待。在符合相关法律规定和授权要求的前提下，可以使用公章签订协议。但务必确保公章使用的合法性和规范性，以避免潜在的法律风险。