首先，我要明确的是，无论所盗物品的价值大小，盗窃行为本身都是违法的。针对你提到的“所盗物品为废品路由器，不值钱且已损坏被丢弃”的情况，警察的处理方式可能会涉及以下几个方面：

1. 调查与取证：

   • 警察会首先进行调查，了解盗窃的具体情况，包括盗窃的时间、地点、手段以及被盗物品的具体情况等。
   • 他们可能会收集相关证据，如监控录像、目击者证言等，以确认盗窃事实。

2. 价值评估：

   • 尽管你提到路由器是废品且已损坏，但警察仍可能会对其价值进行评估。
   • 如果路由器确实没有经济价值且已损坏，这可能会作为处理案件时的一个考虑因素。

3. 法律程序：

   • 根据盗窃行为的性质和严重程度，警察可能会将案件移送至检察机关或法院进行进一步处理。
   • 如果盗窃行为构成犯罪，那么将会按照刑事法律程序进行审理和判决。
   • 如果盗窃行为不构成犯罪，但违反了治安管理相关规定，那么可能会受到行政处罚，如罚款、拘留等。

4. 教育与警示：

   • 警察在处理此类案件时，也可能会对盗窃者进行教育和警示，让其认识到盗窃行为的违法性和危害性。

综上所述，即使所盗物品是废品且已损坏，警察仍然会依法进行调查和处理。因此，我建议你如果面临这样的情况，应该积极配合警察的调查，并主动承认错误，争取从轻处理。同时，也要深刻反思自己的行为，遵守法律法规，不再进行任何违法活动。