当您遇到事故第三方不承担赔偿的情况时，您可以按照以下步骤来处理：

首先，确保事故责任已经由公安交通管理部门进行确认。这是后续索赔的基础，也是法律程序中的重要一环。

接下来，您应该尝试向第三方进行索赔。如果第三方拒绝支付赔偿，您可以考虑通过法律途径来解决问题。具体来说，您可以向人民法院提起诉讼，要求第三方承担相应的赔偿责任。

在提起诉讼的同时，如果您已经购买了相关保险（如车损险），并且符合保险公司的赔偿条件，您可以向保险公司申请先行赔付。此时，您需要向保险公司提供人民法院的立案证明，以便保险公司能够按照保险合同的约定进行赔付。在保险公司赔付后，您需要签具权益转让书，将向第三方追偿的权利部分或全部转让给保险公司，并积极配合保险公司向第三方进行追偿。

另外，如果您不想通过诉讼方式解决，还可以考虑使用“代位赔偿”这一机制。代位赔偿是指当被保险物品发生保险责任范围内的由第三者责任造成的损失时，保险人（保险公司）会先向被保险人（车主）履行损失赔偿责任，然后在其已经赔付金额的限度内取得被保险人向第三责任方要求赔偿的权利。这样，保险公司会先帮您垫付车损费，然后再由保险公司去找责任方追讨赔偿。但请注意，代位赔偿需要满足一定的条件，如被保险人投保了车损险、事故责任明确且肇事方负有赔偿责任等。同时，也有一些情况是无法使用代位赔偿的，如无第三者的事故或非保险赔偿范围内的物品损伤等。

总的来说，面对事故第三方不承担的情况，您可以通过法律途径、保险赔付以及代位赔偿等多种方式来维护自己的权益。在处理过程中，建议您保持冷静、理性，并咨询专业人士的意见以获取更具体的帮助和指导。