诉讼时效抗辩的举证责任通常由主张该抗辩的一方承担。以下是对这一结论的详细解释：

在民事诉讼中，当一方提出诉讼时效已过的抗辩时，即主张原告的请求已经超出了诉讼时效，作为抗辩方的被告就有义务提供相关证据来证明诉讼时效的确已届满。这种证据通常包含了可明确证实诉讼时效起算点及经过时间的书面资料、实物凭据以及证人证言等。换句话说，被告需要举证时效起算点、中止、中断等影响时效计算的事实，以支持其诉讼时效抗辩的主张。若被告不能提供充分有效的证据，则可能无法获得法院对其诉讼时效抗辩的支持。

同时，原告方面只需证明自身权利存在且未过诉讼时效，无需主动对诉讼时效问题承担举证责任。但如果原告能够成功地展示出存在影响诉讼时效的中断或中止状况，例如曾向被告提出过权利主张、得到被告承诺将履行义务等情况，那么举证责任会发生相应的变更，由原告一方负担证明诉讼时效中断或中止的证据。

综上所述，诉讼时效抗辩的举证责任分配原则是根据“谁主张，谁举证”的民事诉讼基本原则来确定的。因此，在面临诉讼时效抗辩的问题时，主张抗辩的一方应提前做好证据的收集和整理工作，以确保能有力证明时效相关事实。而原告也应保留好证明自身权利和时效未过的证据，以应对可能的抗辩。