嫖娼被拘留时，申请行政复议的期限是知道该具体行政行为之日起六十日内。以下是详细分析：

一. 行政复议的期限

根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为具体行政行为侵犯其合法权益的，可以在知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请；但是法律规定的申请期限超过六十日的除外。在嫖娼被拘留的案例中，这一规定同样适用。当事人若对拘留决定不服，应在收到拘留决定通知之日起六十日内提出复议申请。

二. 申请行政复议的注意事项

1. 确保期限内提出申请：超过法定的六十日申请期限，行政复议机关将可能不予受理。
2. 准备相关材料：在申请行政复议时，当事人需要提交复议申请书、拘留决定书等相关材料，以证明其复议请求的合理性和合法性。
3. 了解复议流程：行政复议通常包括受理、审理、决定等阶段，当事人应了解并遵循相关流程。

三. 行政复议后的进一步救济

如果行政复议结果未能满足当事人的诉求，他们还可以依法向人民法院提起行政诉讼。这是行政复议之后的一道重要救济途径，旨在进一步保障当事人的合法权益。

综上所述，嫖娼被拘留时，当事人申请行政复议的期限是知道该具体行政行为之日起六十日内。在申请复议时，应确保期限内提出申请，并准备相关材料以支持其复议请求。如果复议结果未能满足诉求，还可以考虑通过行政诉讼来进一步维护自己的合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。