判刑后，不一定会通知当地相关部门。具体分析如下：

1. 通常情况下不通知：

   • 外地法院判刑后，一般不会特意通知当地相关部门。这是因为没有明确的法律程序要求必须通知当地，这主要取决于司法实践中的具体情况和需求。

2. 特殊情况下的通知：

   • 如果罪犯的户籍或常居地与犯罪地不同，且法院认为有必要让当地部门知晓，那么可能会通过司法协助等方式，将判决书副本等材料送给当地公安、司法所等相关部门。
   • 对于被判处非监禁刑（如管制、缓刑）的罪犯，法院通常会将相关法律文书送达其居住地的社区矫正机构，以便进行后续的社区矫正工作。
   • 如果罪犯原是国家机关或企事业单位人员，判决生效后，司法机关可能会通知其单位，但这并不等同于通知户籍所在地政府机关等无关部门。

3. 家属的通知：

   • 值得注意的是，无论是否通知当地，执行机关都有义务将罪犯及时收押，并通知罪犯家属。这是《中华人民共和国刑事诉讼法》所规定的。

综上所述，判刑后是否会通知当地相关部门，取决于多种因素，包括罪犯的户籍、常居地、判决类型以及司法实践中的具体需求。如果你或你的家属面临类似情况，建议直接咨询当地司法机关或专业律师以获取更准确的信息。