未经教职工允许，网管打开教师电脑的摄像头是不合法的。

首先，从隐私权的角度来看，我国法律明确保护个人的隐私权，任何组织或个人不得非法窥视、刺探、公开或传播他人的隐私。教师电脑的摄像头属于教师个人的私密空间的一部分，未经允许擅自打开，无疑侵犯了教师的隐私权。

其次，从信息安全的角度，这种行为也可能触犯相关的法律法规。电脑摄像头作为电脑的重要组成部分，可能存储有教师的个人信息、教学资料等敏感信息。未经允许擅自访问，不仅侵犯了教师的信息安全，也可能导致信息泄露，给教师带来不必要的麻烦和损失。

最后，从职业道德和职业操守的角度来看，网管作为学校的技术人员，应当遵守职业道德，尊重他人的隐私和权益。擅自打开教师电脑的摄像头，不仅违反了职业道德，也损害了网管这一职业的形象和声誉。

综上所述，未经教职工允许，网管打开教师电脑的摄像头是不合法的，这种行为侵犯了教师的隐私权、信息安全和职业道德。如果发生此类情况，建议教师及时向学校相关部门反映，维护自己的合法权益。