不可以。根据《肥料登记管理办法》的相关规定，应当登记的肥料产品不得委托加工。具体分析如下：

一. 肥料产品的委托生产规定

1. 不得委托加工：根据《肥料登记管理办法》的规定，企业生产肥料，除免予登记的肥料品种外，均应当按照有关规定申请肥料登记。肥料登记证或登记证号不得假冒、伪造和转让。应当登记的肥料产品不得委托加工，否则应当按照《肥料登记管理办法》第二十七条第一项的规定进行处理。这一规定明确指出了肥料产品，特别是需要登记的肥料产品，不能委托其他企业生产。
2. 特殊情况的委托加工：但实行工业产品生产许可证制度管理的肥料产品，可以按照相关规定进行委托加工。这意味着，并非所有肥料产品都不能委托加工，但需要满足特定的条件和规定。

二. 结合具体情境的分析

• 在您提出的问题中，一家有机肥料生产企业想要委托别人生产。由于有机肥料通常需要申请肥料登记，因此，根据《肥料登记管理办法》的规定，这家企业不能委托其他企业生产其需要登记的肥料产品。

我的观点：基于上述分析，一家有机肥料生产企业不可以委托其他企业生产其需要登记的肥料产品。这是由《肥料登记管理办法》的明确规定所决定的。如有进一步需要，您可以继续咨询我。