对擅自在城市公共绿地内开设商业服务摊点的处罚，主要由城市人民政府城市绿化行政主管部门或者其授权的单位负责，处罚措施包括责令限期迁出或者拆除、罚款，以及造成损失时的赔偿责任。
一. 处罚依据与措施
- 依据：根据《城市绿化条例》(2017年修订)第二十九条第一款，未经同意擅自在城市公共绿地内开设商业、服务摊点的，由城市人民政府城市绿化行政主管部门或者其授权的单位进行处罚。
- 措施：
- 责令限期迁出或者拆除；
- 可以并处罚款；
- 造成损失的，应当负赔偿责任。
二. 具体罚款规定
- 新疆维吾尔自治区：根据《新疆维吾尔自治区实施〈城市绿化条例〉办法》(新疆维吾尔自治区政府令第212号发布)第二十二条，对从事经营活动的，有违法所得的，可处违法所得3倍以下罚款，但不得超过30000元；无违法所得的，可处10000元以下罚款。
- 湖南省：根据《湖南省实施<城市绿化条例>办法》第三十一条，罚款数额为占地面积每日每平方米5元，但最高不得超过30000元。
三. 处罚程序
- 立案：发现涉嫌未经同意擅自在城市公共绿地内开设商业、服务摊点的违法行为，予以审查，决定是否立案。
- 调查：对立案的案件，指定专人负责，及时组织调查取证，收集证据，执法人员不得少于两人，且应出示执法证件。
- 审查：对案件违法事实、证据、调查取证程序等方面进行审查，提出处理意见。
- 告知：作出行政处罚决定前，应制作《行政处罚告知书》送达当事人，告知其享有陈述、申辩的权利。
- 决定：制作《行政处罚决定书》，并在七日内送达当事人。
- 执行：监督当事人在决定的期限内，履行生效的行政处罚决定。
我建议，如果你或你身边的人面临此类问题，应积极配合城市绿化行政主管部门的调查，并在收到处罚决定后，及时履行，以避免不必要的法律纠纷。如有进一步需要，您可以继续咨询我。