欠4000房租是有可能被起诉的。以下是对此问题的详细分析：

1. 法律性质：

   • 欠房租属于民事纠纷中的债权债务关系。只要符合立案条件，法院就会受理，并开启司法程序。

2. 立案与起诉：

   • 房租欠款4000元，通常能够立案。原告（房东）需要向法院提交起诉状和相关证据，如租赁合同、租金支付凭证、催款记录等，以证明租赁关系及欠款事实。

3. 法院审理及结果：

   • 法院立案后会根据具体情况进行审理。若事实清楚、证据充分，法院很可能会支持原告要求被告支付租金以及可能产生的逾期利息等诉求。
   • 如果被告（租客）在判决生效后仍不履行支付义务，原告可以申请强制执行，法院有权采取多种执行手段，如查询、冻结、划拨银行存款，扣留、提取收入，查封、扣押、拍卖、变卖财产等。

4. 特殊情形：

   • 在某些特殊情况下，欠房租可能引发刑事问题。例如，租客以非法占有为目的，通过欺骗手段骗取租赁房屋后拖欠房租逃逸，可能涉嫌诈骗罪。或者，在房东多次催缴并下达支付通知后，租客有能力支付却拒不支付，情节严重的，可能构成拒不执行判决、裁定罪。但在普通欠房租案件中，此类情况较为少见。

5. 法律建议：

   • 对于租客而言，如果确实存在经济困难，应及时与房东沟通协商，争取达成和解协议，避免被起诉和承担更严重的法律后果。
   • 对于房东而言，如果租客拖欠房租，应首先尝试通过协商或调解的方式解决。如果协商无果，可以及时向法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。

综上所述，欠4000房租是有可能被起诉的，并且如果判决后仍不履行支付义务，可能会面临强制执行和一系列法律后果。因此，建议双方及时沟通协商，妥善处理房租拖欠问题。